Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as posições de pontos no espaço tridimensional () que estão exatamente à mesma distância de duas retas dadas. Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço, especialmente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a uma reta e igualar essas distâncias para encontrar a equação do lugar geométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as retas dadas:
A reta é definida pelas equações:
Isso significa que todos os pontos na reta têm a coordenada e satisfazem .
A reta é definida pelas equações:
Aqui, todos os pontos na reta têm e satisfazem .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço. A fórmula geral para a distância de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde representa o produto vetorial e é o módulo do vetor.
Passo 4
Precisamos encontrar as equações paramétricas ou vetoriais das retas e para identificar seus vetores diretores e pontos de referência.
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como . Vamos escolher , então e . Assim, a parametrização é:
O vetor diretor de é .
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como . Vamos escolher , então e . Assim, a parametrização é:
O vetor diretor de é .
Passo 5
Vamos agora calcular a distância de um ponto genérico Dr = |dr times PrP||dr| às retas dr times PrP = i & j & k 1 & -1 & 0 x & y - 1 & z = (-1 cdot z - 0 cdot (y - 1))i - (1 cdot z - 0 cdot x)j + (1 cdot (y - 1) - (-1) cdot x)k = (-z)i - zj + (y - 1 + x)k e |dr times PrP| = raiz(-z)^2 + (-z)^2 + (x + y - 1)^2 = raiz2z^2 + (x + y - 1)^2 usando a fórmula mencionada.
Para a reta |dr| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 :
Escolhemos um ponto da reta Dr = raiz2z^2 + (x + y - 1)^2raiz2 = raiz2z^2 + (x + y - 1)^22 = raizz^2 + (x + y - 1)^22 , por exemplo, quando : . O vetor .
A distância é:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo do vetor diretor é:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância Ds = |ds times PsP||ds| do ponto ds times PsP = i & j & k 1 & 0 & -1 x & y & z - 1 = (0 cdot (z - 1) - (-1) cdot y)i - (1 cdot (z - 1) - (-1) cdot x)j + (1 cdot y - 0 cdot x)k = (y)i - (z - 1 + x)j + yk à reta |ds times PsP| = raizy^2 + (x + z - 1)^2 + y^2 = raiz2y^2 + (x + z - 1)^2 .
Escolhemos um ponto da reta |ds| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2 , por exemplo, quando Ds = raiz2y^2 + (x + z - 1)^2raiz2 = raiz2y^2 + (x + z - 1)^22 = raizy^2 + (x + z - 1)^22 : . O vetor .
A distância é:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo do vetor diretor é:
Então:
Passo 7
Agora queremos que o ponto raizz^2 + (x + y - 1)^22 = raizy^2 + (x + z - 1)^22 esteja à mesma distância das retas z^2 + (x + y - 1)^22 = y^2 + (x + z - 1)^22 e , ou seja, . Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar: