Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as posições de pontos no espaço tridimensional ( ) que estão exatamente à mesma distância de duas retas dadas. Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço, especialmente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a uma reta e igualar essas distâncias para encontrar a equação do lugar geométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as retas dadas:
A reta é definida pelas equações:
Isso significa que todos os pontos na reta têm a coordenada e satisfazem .
A reta é definida pelas equações:
Aqui, todos os pontos na reta têm e satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço. A fórmula geral para a distância de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde representa o produto vetorial e é o módulo do vetor.

Passo 4

Precisamos encontrar as equações paramétricas ou vetoriais das retas e para identificar seus vetores diretores e pontos de referência.
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como . Vamos escolher , então e . Assim, a parametrização é:
O vetor diretor de é .
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como . Vamos escolher , então e . Assim, a parametrização é:
O vetor diretor de é .

Passo 5

Vamos agora calcular a distância de um ponto genérico às retas e usando a fórmula mencionada.
Para a reta :
Escolhemos um ponto da reta , por exemplo, quando : . O vetor .
A distância é:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo do vetor diretor é:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância do ponto à reta .
Escolhemos um ponto da reta , por exemplo, quando : . O vetor .
A distância é:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo do vetor diretor é:
Então:

Passo 7

Agora queremos que o ponto esteja à mesma distância das retas e , ou seja, . Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
Simplificando ambos os lados:

Passo 9

Agora, vamos subtrair e de ambos os lados e rearranjar os termos:
Cancelando termos semelhantes:
Rearranjando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:

Passo 10

Para deixar a equação mais organizada, podemos reescrevê-la de forma padrão:
Essa é a equação do lugar geométrico dos pontos em que estão equidistantes das retas e .

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas e é:

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