Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de R^3 que
(a) equidistam das retas
r:l x+y=1 z=0 e s:l x+z=1 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as posições de pontos no espaço tridimensional ( ) que estão exatamente à mesma distância de duas retas dadas. Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço, especialmente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a uma reta e igualar essas distâncias para encontrar a equação do lugar geométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as retas dadas:
A reta x + y = 1 z = 0 é definida pelas equações:
x + z = 1 y = 0
Isso significa que todos os pontos na reta têm a coordenada e satisfazem .
A reta é definida pelas equações:
Aqui, todos os pontos na reta têm e satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto D = |d times P0P||d| a uma reta no espaço. A fórmula geral para a distância de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde representa o produto vetorial e é o módulo do vetor.

Passo 4

Precisamos encontrar as equações paramétricas ou vetoriais das retas r: x = t y = 1 - t z = 0 e s: x = s y = 0 z = 1 - s para identificar seus vetores diretores e pontos de referência.
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como . Vamos escolher , então e . Assim, a parametrização é:
O vetor diretor de é .
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como . Vamos escolher , então e . Assim, a parametrização é:
O vetor diretor de é .

Passo 5

Vamos agora calcular a distância de um ponto genérico Dr = |dr times PrP||dr| às retas dr times PrP = i & j & k 1 & -1 & 0 x & y - 1 & z = (-1 cdot z - 0 cdot (y - 1))i - (1 cdot z - 0 cdot x)j + (1 cdot (y - 1) - (-1) cdot x)k = (-z)i - zj + (y - 1 + x)k e |dr times PrP| = raiz(-z)^2 + (-z)^2 + (x + y - 1)^2 = raiz2z^2 + (x + y - 1)^2 usando a fórmula mencionada.
Para a reta |dr| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 :
Escolhemos um ponto da reta Dr = raiz2z^2 + (x + y - 1)^2raiz2 = raiz2z^2 + (x + y - 1)^22 = raizz^2 + (x + y - 1)^22 , por exemplo, quando : . O vetor .
A distância é:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo do vetor diretor é:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância Ds = |ds times PsP||ds| do ponto ds times PsP = i & j & k 1 & 0 & -1 x & y & z - 1 = (0 cdot (z - 1) - (-1) cdot y)i - (1 cdot (z - 1) - (-1) cdot x)j + (1 cdot y - 0 cdot x)k = (y)i - (z - 1 + x)j + yk à reta |ds times PsP| = raizy^2 + (x + z - 1)^2 + y^2 = raiz2y^2 + (x + z - 1)^2 .
Escolhemos um ponto da reta |ds| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2 , por exemplo, quando Ds = raiz2y^2 + (x + z - 1)^2raiz2 = raiz2y^2 + (x + z - 1)^22 = raizy^2 + (x + z - 1)^22 : . O vetor .
A distância é:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo do vetor diretor é:
Então:

Passo 7

Agora queremos que o ponto raizz^2 + (x + y - 1)^22 = raizy^2 + (x + z - 1)^22 esteja à mesma distância das retas z^2 + (x + y - 1)^22 = y^2 + (x + z - 1)^22 e , ou seja, . Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2z^2 + (x + y - 1)^2 = 2y^2 + (x + z - 1)^2
Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
2z^2 + (x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1) = 2y^2 + (x^2 + 2xz + z^2 - 2x - 2z + 1)
Simplificando ambos os lados:
2z^2 + x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = 2y^2 + x^2 + 2xz + z^2 - 2x - 2z + 1

Passo 9

Agora, vamos subtrair 2z^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 2y^2 + 2xz + z^2 - 2x - 2z e 2z^2 + 2xy + y^2 - 2y = 2y^2 + 2xz + z^2 - 2z de ambos os lados e rearranjar os termos:
2z^2 - z^2 + 2xy - 2xz + y^2 - 2y - 2y^2 + 2z = 0
Cancelando termos semelhantes:
z^2 + 2xy - 2xz - y^2 - 2y + 2z = 0
Rearranjando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:

Passo 10

Para deixar a equação mais organizada, podemos reescrevê-la de forma padrão:
z^2 + 2xy - 2xz + 2z - y^2 - 2y = 0
Essa é a equação do lugar geométrico dos pontos em que estão equidistantes das retas e .

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas z^2 + 2xy - 2xz + 2z - y^2 - 2y = 0 e é:

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