Um ponto
se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana
dessa elipse é.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de uma elipse, que é um tipo de curva na geometria. Precisamos encontrar a equação cartesiana dessa elipse, baseada na condição dada sobre as distâncias do ponto P aos focos F₁ e F₂. Vamos precisar usar conceitos de distância entre pontos e as propriedades das elipses para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os focos da elipse. Temos:
- F₁(-12, 8)
- F₂(-8, 12)
A elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante. No nosso caso, essa soma é igual a √2 vezes a distância entre os dois focos.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre F₁ e F₂ usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Passo 4
A soma das distâncias do ponto P aos focos é dada por:
Essa é a constante 2a em termos da equação padrão da elipse, onde ‘a’ é o semi-eixo maior. Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a distância entre os focos, que já calculamos como
, portanto:
Sabemos que em uma elipse:
Onde ‘b’ é o semi-eixo menor. Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos determinar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os focos F₁ e F₂. Calculamos as coordenadas do centro (h, k):
Então, o centro é (-10, 10).
Passo 7
Agora, vamos escrever a equação padrão da elipse com centro em (-10, 10):
Substituindo os valores encontrados:
Passo 8
Para chegar à equação geral
, vamos multiplicar ambos os lados por 16 para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Levantando todos os termos para um lado:
Resposta
A equação cartesiana da elipse é:
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Plote as seguintes retas:
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se , então
.
Se
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se , o versor de
é
.
Se
Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
. Sugestão: Primeiro encontre os vértices sobre a reta focal.