Um ponto P(x, y) se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos F1(-12,8) e F2(-8,12) é igual a raiz2 d i s t(F1, F2). A equação cartesiana (A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0) dessa elipse é.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de uma elipse, que é um tipo de curva na geometria. Precisamos encontrar a equação cartesiana dessa elipse, baseada na condição dada sobre as distâncias do ponto P aos focos F₁ e F₂. Vamos precisar usar conceitos de distância entre pontos e as propriedades das elipses para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os focos da elipse. Temos:
  • F₁(-12, 8)
  • F₂(-8, 12)
A elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante. No nosso caso, essa soma é igual a √2 vezes a distância entre os dois focos.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre F₁ e F₂ usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(-8 - (-12))^2 + (12 - 8)^2 = raiz(4)^2 + (4)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 = 4raiz2

Passo 4

A soma das distâncias do ponto P aos focos é dada por:
d(P, F₁) + d(P, F₂) = raiz2 times d(F₁, F₂) = raiz2 times 4raiz2 = 8
Essa é a constante 2a em termos da equação padrão da elipse, onde ‘a’ é o semi-eixo maior. Então:
2a = 8 implies a = 4

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a distância entre os focos, que já calculamos como c = 2raiz2 , portanto:
c^2 = a^2 - b^2
Sabemos que em uma elipse:
(2raiz2)^2 = 4^2 - b^2 implies 8 = 16 - b^2 implies b^2 = 8 implies b = 2raiz2
Onde ‘b’ é o semi-eixo menor. Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos determinar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os focos F₁ e F₂. Calculamos as coordenadas do centro (h, k):
h = x₁ + x₂2 = -12 + (-8)2 = -10
k = y₁ + y₂2 = 8 + 122 = 10
Então, o centro é (-10, 10).

Passo 7

Agora, vamos escrever a equação padrão da elipse com centro em (-10, 10):
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores encontrados:
(x + 10)^216 + (y - 10)^28 = 1

Passo 8

Para chegar à equação geral (x + 10)^2 + 2(y - 10)^2 = 16 , vamos multiplicar ambos os lados por 16 para eliminar os denominadores:
x^2 + 20x + 100 + 2(y^2 - 20y + 100) = 16
Expandindo os termos:
x^2 + 20x + 100 + 2y^2 - 40y + 200 = 16
x^2 + 2y^2 + 20x - 40y + 300 = 16
Simplificando:
x^2 + 2y^2 + 20x - 40y + 284 = 0
Levantando todos os termos para um lado:

Resposta

A equação cartesiana da elipse é:
x^2 + 2 y^2 + 20 x - 40 y + 284 = 0

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Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
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