Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço. x^2+9 y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar os vértices, focos e a excentricidade da elipse dada pela equação . Além disso, precisamos fazer um esboço dessa elipse. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da equação de uma elipse centrada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • x^2 + 9 y^2 = 9 é o semi-eixo maior.
  • x^29 + y^21 = 1 é o semi-eixo menor.
No nosso caso, temos:
Dividindo ambos os lados por 9 para igualar a forma padrão:
Agora, podemos identificar que:
  • então
  • então

Passo 3

Agora, vamos identificar os vértices da elipse. Como , o eixo maior está no eixo . Os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior.
Então, os vértices são:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar os focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por:
c = raiza^2 - b^2 = raiz9 - 1 = raiz8 = 2raiz2
Então, os focos estão localizados a uma distância ao longo do eixo maior:

Passo 5

Agora, vamos calcular a excentricidade ( e = ca = 2raiz23 approx 0,9428 ) da elipse, que mede o quanto a elipse se afasta de ser um círculo. É calculada por:

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço da elipse:
  1. Desenhe o sistema de coordenadas e .
  2. Marque o centro da elipse na origem .
  3. Coloque os vértices em e .
  4. Marque os focos em e .
  5. Desenhe a elipse passando pelos vértices, garantindo que ela seja mais larga no eixo devido a .

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:

Esboço da Elipse

(Aqui você desenharia uma elipse centrada na origem, com os vértices e focos marcados conforme descrito.)

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