Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar os vértices, focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
. Além disso, precisamos fazer um esboço dessa elipse. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da equação de uma elipse centrada na origem é:
Onde:
-
é o semi-eixo maior. -
é o semi-eixo menor.
No nosso caso, temos:
Dividindo ambos os lados por 9 para igualar a forma padrão:
Agora, podemos identificar que:
-
então -
então
Passo 3
Agora, vamos identificar os vértices da elipse. Como
, o eixo maior está no eixo
. Os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior.
Então, os vértices são:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar os focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por:
Então, os focos estão localizados a uma distância
ao longo do eixo maior:
Passo 5
Agora, vamos calcular a excentricidade (
) da elipse, que mede o quanto a elipse se afasta de ser um círculo. É calculada por:
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço da elipse:
- Desenhe o sistema de coordenadas
e . - Marque o centro da elipse na origem
. - Coloque os vértices em
e . - Marque os focos em
e . - Desenhe a elipse passando pelos vértices, garantindo que ela seja mais larga no eixo
devido a .
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
Esboço da Elipse
(Aqui você desenharia uma elipse centrada na origem, com os vértices e focos marcados conforme descrito.)
Exercícios relacionados
Plote os seguintes elipsoides:
Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)
Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(b) .
(b)
Plote os seguintes cilindros em
: