Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=y^2+4 y-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para plotar o cilindro definido pela equação no espaço tridimensional . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos superfícies e suas representações no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um cilindro no contexto das equações de superfícies e como representar essa equação no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um cilindro em . Em Geometria Analítica, um cilindro é uma superfície obtida pela movimentação de uma curva (chamada de geratriz) ao longo de uma reta (chamada de geradora) que é paralela a uma das coordenadas espaciais. No nosso caso, a equação nos diz que para cada valor de , é definido por essa relação quadrática, enquanto pode ser qualquer valor real. Isso significa que o cilindro estende-se ao longo do eixo sem restrições.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
z = y^2 + 4y - 1
Podemos completar o quadrado para simplificar:
z = (y^2 + 4y + 4) - 5 = (y + 2)^2 - 5
Isso mostra que, para cada valor de , está definido como uma parábola deslocada. Como não está presente na equação, ele pode assumir qualquer valor, o que faz com que a parábola se estenda infinitamente ao longo do eixo , formando um cilindro parabólico.

Passo 4

Para plotar esse cilindro em , pense na parábola sendo “arrastada” ao longo do eixo . Isso cria uma superfície contínua onde, para cada , você tem uma parábola perfeita em e . Visualmente, o cilindro terá uma forma parabólica que se estende indefinidamente em ambas as direções do eixo .

Resposta

O cilindro definido pela equação em é uma superfície parabólica que se estende infinitamente ao longo do eixo . Para cada valor de , segue a parábola , criando uma forma contínua e aberta no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(b) 3 x^2-9 x-5 y-2=0.
Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço. x^2+9 y^2=9
Seja P uma parábola de diretriz d: x+y-4=0 e foco F(10,6)
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola P no ponto T(16,48).
Mostrar que um operador F in L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.