Plote os seguintes cilindros em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para plotar o cilindro definido pela equação
no espaço tridimensional
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos superfícies e suas representações no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um cilindro no contexto das equações de superfícies e como representar essa equação no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cilindro em
. Em Geometria Analítica, um cilindro é uma superfície obtida pela movimentação de uma curva (chamada de geratriz) ao longo de uma reta (chamada de geradora) que é paralela a uma das coordenadas espaciais. No nosso caso, a equação
nos diz que para cada valor de
,
é definido por essa relação quadrática, enquanto
pode ser qualquer valor real. Isso significa que o cilindro estende-se ao longo do eixo
sem restrições.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Podemos completar o quadrado para simplificar:
Isso mostra que, para cada valor de
,
está definido como uma parábola deslocada. Como
não está presente na equação, ele pode assumir qualquer valor, o que faz com que a parábola se estenda infinitamente ao longo do eixo
, formando um cilindro parabólico.
Passo 4
Para plotar esse cilindro em
, pense na parábola
sendo “arrastada” ao longo do eixo
. Isso cria uma superfície contínua onde, para cada
, você tem uma parábola perfeita em
e
. Visualmente, o cilindro terá uma forma parabólica que se estende indefinidamente em ambas as direções do eixo
.
Resposta
O cilindro definido pela equação
em
é uma superfície parabólica que se estende infinitamente ao longo do eixo
. Para cada valor de
,
segue a parábola
, criando uma forma contínua e aberta no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(b) .
(b)
Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço.
Seja
uma parábola de diretriz
e foco
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola no ponto
.
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola
Mostrar que um operador
é idempotente se, e somente se,
é idempotente.