Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem a equação de uma parábola:
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para colocar essa equação na forma reduzida da parábola. A partir daí, vamos encontrar as coordenadas do vértice, do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos com
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado nos termos de
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos isolar o termo quadrático:
Reorganizando para a forma reduzida da parábola:
Passo 5
A forma geral da parábola horizontal é
. Comparando com a nossa equação:
Vemos que
, então:
Passo 6
O vértice da parábola é o ponto
. Aqui,
e
, então:
Passo 7
O foco está a uma distância
do vértice na direção para onde a parábola está aberta. Como
, a parábola abre para a esquerda. Assim, as coordenadas do foco são:
Passo 8
A equação da diretriz é uma linha vertical a uma distância
do vértice, no sentido oposto da abertura. Portanto:
Passo 9
A corda focal mínima é o segmento que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. O comprimento dessa corda é
:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Comprimento da corda focal mínima: 6 unidades
- Equação da diretriz:
Esboço da Parábola
(Aqui você pode desenhar à mão livre esboçando uma parábola que abre para a esquerda, marcando o vértice, o foco, a diretriz e a corda focal mínima.)
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Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço.