Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(a) y^2-4 y+6 x-8=0

Passo 1

Então, a gente tem a equação de uma parábola: . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para colocar essa equação na forma reduzida da parábola. A partir daí, vamos encontrar as coordenadas do vértice, do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos com y^2 - 4y = -6x + 8 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado nos termos de ( -42 )^2 = 4 . Para isso, pegamos o coeficiente de y^2 - 4y + 4 - 4 = -6x + 8 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(y - 2)^2 - 4 = -6x + 8
Adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos isolar o termo quadrático:
(y - 2)^2 = -6x + 12
Reorganizando para a forma reduzida da parábola:
(y - 2)^2 = -6(x - 2)

Passo 5

A forma geral da parábola horizontal é (y - 2)^2 = -6(x - 2) . Comparando com a nossa equação:
p = -64 = -32
Vemos que , então:

Passo 6

O vértice da parábola é o ponto Vértice: (2, 2) . Aqui, e , então:
é

Passo 7

O foco está a uma distância ( h + p, k ) = ( 2 - 32, 2 ) = ( 12, 2 ) do vértice na direção para onde a parábola está aberta. Como , a parábola abre para a esquerda. Assim, as coordenadas do foco são:

Passo 8

A equação da diretriz é uma linha vertical a uma distância Equação da diretriz: x = h - p = 2 - ( -32 ) = 2 + 32 = 72 do vértice, no sentido oposto da abertura. Portanto:
çã

Passo 9

A corda focal mínima é o segmento que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. O comprimento dessa corda é |4p| = |4 times -32| = 6 unidades :

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Comprimento da corda focal mínima: 6 unidades
  • Equação da diretriz:

Esboço da Parábola

(Aqui você pode desenhar à mão livre esboçando uma parábola que abre para a esquerda, marcando o vértice, o foco, a diretriz e a corda focal mínima.)

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Plote os seguintes elipsoides:
x^2+2 y^2+z^2=16
Plote os seguintes cones:
z^2=2 x^2+2 y^2
Plote os seguintes elipsoides:
z=1+raizx^2+y^2
Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço. x^2+9 y^2=9