Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(b) 3 x^2-9 x-5 y-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente pegar uma equação de parábola e transformar ela na forma reduzida. Aí, com essa forma, a gente consegue achar o vértice, o foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Para isso, vamos precisar usar completamento do quadrado e entender os componentes básicos da equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação dada: 3x^2 - 9x - 5y - 2 = 0. A gente quer isolar o 5y = 3x^2 - 9x - 2, então vamos rearranjar os termos:
y = 35x^2 - 95x - 25
Adicionando o e movendo os outros termos para o outro lado:
Agora, vamos dividir tudo por 5 para isolar o :

Passo 3

Para transformar essa equação na forma reduzida da parábola, que é y = 35(x^2 - 3x) - 25, precisamos completar o quadrado no termo de (-32)^2 = 94.
Primeiro, fatoramos o coeficiente de y = 35(x^2 - 3x + 94 - 94) - 25, que é y = 35((x - 32)^2 - 94) - 25:
y = 35(x - 32)^2 - 2720 - 25
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos o coeficiente de y = 35(x - 32)^2 - 27 + 820, que é y = 35(x - 32)^2 - 3520, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
y = 35(x - 32)^2 - 74
Então, adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:
Distribuindo a :
Convertendo para vinte avos:
Então:
Simplificando para :
Pronto, chegamos à forma reduzida!

Passo 4

Agora que temos a equação na forma reduzida:
y = 35(x - 32)^2 - 74
Podemos identificar os componentes:
Então, o vértice da parábola é .

Passo 5

Para achar o foco e a diretriz, precisamos saber a fórmula geral da parábola na forma reduzida:
y = a(x - h)^2 + k
O foco está a uma distância 14a = 14 times 35 = 1125 = 512 acima do vértice (já que a parábola abre para cima quando (32, -74 + 512)).
Calculando y = -74 - 512:
-2112 - 512 = -2612 = -136
Então, o foco está a unidades acima do vértice:
Coordenadas do foco:
Convertendo para doze avos:
Então:
Portanto, o foco é .
A diretriz é uma linha horizontal a mesma distância do vértice, mas para baixo:
Equação da diretriz:
Convertendo para doze avos:
Então:
Portanto, a equação da diretriz é .

Passo 6

Para encontrar o comprimento da corda focal mínima, usamos a fórmula:
Comprimento = 4|a|
Aqui, Comprimento = 435 = 203 , então:

Resposta

A equação y = 35(x - 32)^2 - 74 reduzida à forma reduzida é:
Vértice:
Foco:
Comprimento da corda focal mínima:
Equação da diretriz:
Faça um esboço �� mão livre representando a parábola com esses elementos!

Exercícios relacionados

Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço. x^2+9 y^2=9
Plote os seguintes elipsoides:
z=1+raizx^2+y^2
Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=y^2+4 y-1
Seja P uma parábola de diretriz d: x+y-4=0 e foco F(10,6)
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola P no ponto T(16,48).