Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente pegar uma equação de parábola e transformar ela na forma reduzida. Aí, com essa forma, a gente consegue achar o vértice, o foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Para isso, vamos precisar usar completamento do quadrado e entender os componentes básicos da equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação dada:
. A gente quer isolar o
, então vamos rearranjar os termos:
Adicionando o
e movendo os outros termos para o outro lado:
Agora, vamos dividir tudo por 5 para isolar o
:
Passo 3
Para transformar essa equação na forma reduzida da parábola, que é
, precisamos completar o quadrado no termo de
.
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
, que é
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos
dentro dos parênteses:
Simplificando:
Distribuindo a
:
Convertendo
para vinte avos:
Então:
Simplificando
para
:
Pronto, chegamos à forma reduzida!
Passo 4
Agora que temos a equação na forma reduzida:
Podemos identificar os componentes:
Então, o vértice da parábola é
.
Passo 5
Para achar o foco e a diretriz, precisamos saber a fórmula geral da parábola na forma reduzida:
O foco está a uma distância
acima do vértice (já que a parábola abre para cima quando
).
Calculando
:
Então, o foco está a
unidades acima do vértice:
Coordenadas do foco:
Convertendo
para doze avos:
Então:
Portanto, o foco é
.
A diretriz é uma linha horizontal a mesma distância do vértice, mas para baixo:
Equação da diretriz:
Convertendo
para doze avos:
Então:
Portanto, a equação da diretriz é
.
Passo 6
Para encontrar o comprimento da corda focal mínima, usamos a fórmula:
Aqui,
, então:
Resposta
A equação
reduzida à forma reduzida é:
Vértice:
Foco:
Comprimento da corda focal mínima:
Equação da diretriz:
Faça um esboço �� mão livre representando a parábola com esses elementos!
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Para as elipses abaixo identifique os vértices, focos e excentricidade. Faça um esboço.
Plote os seguintes elipsoides:
Plote os seguintes cilindros em
:
Seja
uma parábola de diretriz
e foco
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola no ponto
.
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola