Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade
. Faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse:
. Aqui, estamos lidando com a matéria de Geometria Analítica, especificamente com elipses. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da equação padrão da elipse e usar algumas fórmulas básicas para encontrar os vértices, focos e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse. A forma padrão é
. Para isso, vamos dividir toda a equação por 400:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
. Aqui,
e
. Tirando a raiz quadrada, temos
e
. Como
, a elipse está mais larga no eixo
.
Passo 4
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como a elipse está centrada na origem (0,0), os vértices são:
Então, os vértices são
e
.
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
. Calculando:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Então, os focos são
.
Passo 6
A excentricidade
mede o quão alongada é a elipse e é dada por
. Substituindo os valores:
Passo 7
Para o esboço, imagine uma elipse centrada na origem. Ela se estende de
a
no eixo
e de
a
no eixo
. Os vértices estão nos pontos
e
, e os focos estão nos pontos
e
.
Resposta
Vértices:
e
Focos:
e
Excentricidade:
O esboço é uma elipse centrada na origem, mais larga no eixo
, com vértices em
e
e focos em
e
.