Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade (e=ca). Faça um esboço.
16 x^2+25 y^2=400

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse: . Aqui, estamos lidando com a matéria de Geometria Analítica, especificamente com elipses. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da equação padrão da elipse e usar algumas fórmulas básicas para encontrar os vértices, focos e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse. A forma padrão é 16x^2400 + 25y^2400 = 1 Rightarrow x^225 + y^216 = 1 . Para isso, vamos dividir toda a equação por 400:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de e . Aqui, e . Tirando a raiz quadrada, temos e . Como , a elipse está mais larga no eixo .

Passo 4

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância (pm a, 0) Rightarrow (pm 5, 0) do centro ao longo do eixo maior. Como a elipse está centrada na origem (0,0), os vértices são:
Então, os vértices são e .

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiz25 - 16 = raiz9 = 3 . Calculando:
Os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Então, os focos são .

Passo 6

A excentricidade e = 35 = 0,6 mede o quão alongada é a elipse e é dada por . Substituindo os valores:

Passo 7

Para o esboço, imagine uma elipse centrada na origem. Ela se estende de a no eixo e de a no eixo . Os vértices estão nos pontos e , e os focos estão nos pontos e .

Resposta

Vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
O esboço é uma elipse centrada na origem, mais larga no eixo , com vértices em e e focos em e .

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