Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade . Faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse: . Aqui, estamos lidando com a matéria de Geometria Analítica, especificamente com elipses. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da equação padrão da elipse e usar algumas fórmulas básicas para encontrar os vértices, focos e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse. A forma padrão é . Para isso, vamos dividir toda a equação por 400:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de e . Aqui, e . Tirando a raiz quadrada, temos e . Como , a elipse está mais larga no eixo .
Passo 4
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como a elipse está centrada na origem (0,0), os vértices são:
Então, os vértices são e .
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula . Calculando:
Os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Então, os focos são .
Passo 6
A excentricidade mede o quão alongada é a elipse e é dada por . Substituindo os valores:
Passo 7
Para o esboço, imagine uma elipse centrada na origem. Ela se estende de a no eixo e de a no eixo . Os vértices estão nos pontos e , e os focos estão nos pontos e .
Resposta
Vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
O esboço é uma elipse centrada na origem, mais larga no eixo , com vértices em e e focos em e .