(i) Se , então é um conjunto LI.
(ii) Se é um vetor qualquer, então é LD.
(iii) Existem vetores no espaço que não podem ser escritos como combinação linear de .
(iv) O conjunto pode ser LD ou LI.
Qual o número exato de sentenças verdadeiras?
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) Nenhuma das sentenças é verdadeira
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro afirmações sobre conjuntos de vetores e nos pede para descobrir quantas delas são verdadeiras. Vamos precisar entender sobre independentência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores, além do conceito de combinação linear. Esses são conceitos básicos de Álgebra Linear que ajudam a determinar como os vetores se relacionam entre si.
Passo 2
Vamos começar analisando a afirmação (i):
“Se , então é um conjunto LI.”
Independente Linear (LI) significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Aqui, multiplicar um vetor por um escalar não muda a independência linear do conjunto. Se é LI, então também será LI, já que não anula o vetor.
Passo 3
Agora, a afirmação (ii):
“Se é um vetor qualquer, então é LD.”
Dependência Linear (LD) significa que pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Como estamos adicionando um vetor a um conjunto que já é LI (assumindo que é LI conforme a (i)), o novo conjunto de quatro vetores em um espaço de dimensão 3 necessariamente será LD, pois não há espaço suficiente para que todos sejam LI.
Passo 4
Vamos verificar a afirmação (iii):
“Existem vetores no espaço que não podem ser escritos como combinação linear de .”
Se estamos trabalhando em um espaço tridimensional, e é LI, então qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses três vetores. Portanto, não existem vetores que não podem ser expressos dessa forma. Então, essa afirmação é falsa.
Passo 5
Por último, a afirmação (iv):
“O conjunto pode ser LD ou LI.”
Um conjunto com dois vetores pode ser LI se nenhum vetor for múltiplo do outro, ou LD se um for múltiplo do outro. Portanto, essa afirmação é verdadeira porque depende dos vetores específicos.
Resposta
A quantidade exata de sentenças verdadeiras é 3. As afirmações (i), (ii) e (iv) são verdadeiras, enquanto a (iii) é falsa.