A matriz abaixo representa uma transformação linear com as bases (base do domínio) e (base do contradomínio). Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformações lineares e mudança de base. Temos uma transformação linear representada pela matriz nas bases (do domínio) e (do contradomínio). Nosso objetivo é calcular .
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o vetor x(-1, 1, 0) + y(1, 0, 0) + z(0, 2, 1) = (1, 3, 2) na base -1x + 1y + 0z = 1 1x + 0y + 0z = 3 0x + 2y + 1z = 2 . A base é formada pelos vetores , e . Queremos encontrar os coeficientes , e tais que:
Então, o resultado da multiplicação é . Essas são as coordenadas na base .
Passo 4
Finalmente, precisamos converter essas coordenadas de volta para a base padrão usando a base T4(1, 3, 2) = -9(1,1,1) + (-1)(1,0,2) + 10(-2,2,1) , que é -9(1,1,1) = (-9, -9, -9) -1(1,0,2) = (-1, 0, -2) 10(-2,2,1) = (-20, 20, 10) . Isso significa que: