A matriz A abaixo representa uma transformação linear T4: R^3 R^3 com as bases B3=(-1,1,0),(1,0,0),(0,2,1) (base do domínio) e B4= (1,1,1),(1,0,2),(-2,2,1) (base do contradomínio). Calcule T4(1,3,2)
A=[ccc 1 & 0 & 2 3 & -1 & 1 2 & 1 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformações lineares e mudança de base. Temos uma transformação linear representada pela matriz nas bases (do domínio) e (do contradomínio). Nosso objetivo é calcular .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor x(-1, 1, 0) + y(1, 0, 0) + z(0, 2, 1) = (1, 3, 2) na base -1x + 1y + 0z = 1 1x + 0y + 0z = 3 0x + 2y + 1z = 2 . A base é formada pelos vetores , e . Queremos encontrar os coeficientes , e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação: .
  • Substituindo na primeira equação: .
  • Substituindo na terceira equação: .
Então, as coordenadas do vetor na base são .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a matriz A = 1 & 0 & 2 3 & -1 & 1 2 & 1 & 0 a essas coordenadas. A matriz A cdot 3 4 -6 = 1 cdot 3 + 0 cdot 4 + 2 cdot (-6) 3 cdot 3 + (-1) cdot 4 + 1 cdot (-6) 2 cdot 3 + 1 cdot 4 + 0 cdot (-6) = 3 + 0 - 12 9 - 4 - 6 6 + 4 + 0 = -9 -1 10 é dada por:
Multiplicando pelo vetor :
Então, o resultado da multiplicação é . Essas são as coordenadas na base .

Passo 4

Finalmente, precisamos converter essas coordenadas de volta para a base padrão usando a base T4(1, 3, 2) = -9(1,1,1) + (-1)(1,0,2) + 10(-2,2,1) , que é -9(1,1,1) = (-9, -9, -9) -1(1,0,2) = (-1, 0, -2) 10(-2,2,1) = (-20, 20, 10) . Isso significa que:
(-9, -9, -9) + (-1, 0, -2) + (-20, 20, 10) = (-30, 11, -1)
Vamos calcular cada parte:
Somando os resultados:

Resposta

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