O elipsóide
pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
onde
e
.
Como você escolheria
para se obter uma esfera?
Como você escolheria
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de um elipsóide:
E uma parametrização dessa superfície usando uma função vetorial de duas variáveis:
Onde
,
e
são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.
Queremos descobrir como escolher os valores de
,
e
para que essa equação represente uma esfera. Para isso, vamos precisar entender a diferença entre um elipsóide e uma esfera e como os parâmetros
,
e
influenciam na forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um elipsóide é uma generalização da esfera. Enquanto a esfera tem o mesmo raio em todas as direções, o elipsóide pode ter diferentes “raios” ao longo dos eixos x, y e z.
Na equação do elipsóide:
Os valores de
,
e
determinam o quanto a superfície se estende em cada direção. Se
,
e
forem iguais, digamos todos iguais a
, a equação se torna:
Que pode ser simplificada para:
Essa é exatamente a equação de uma esfera com raio
.
Passo 3
Agora, olhando para a parametrização:
Se quisermos que essa parametrização represente uma esfera, precisamos que o “raio” seja o mesmo em todas as direções. Isso significa que os coeficientes
,
e
devem ser iguais.
Então, se escolhermos
, onde
é o raio da esfera, a parametrização fica:
E a equação do elipsóide se torna a equação da esfera com raio
.
Resposta
Para obter uma esfera, basta escolher
,
e
iguais, ou seja,
, onde
é o raio da esfera.