O elipsóide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
r(u, v) = a cos(u) cos(v) i + b cos(u) sen(v) j + c sen(u) k
onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).
Como você escolheria a, b, c para se obter uma esfera?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de um elipsóide:
E uma parametrização dessa superfície usando uma função vetorial de duas variáveis:
Onde , e são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente.
Queremos descobrir como escolher os valores de , e para que essa equação represente uma esfera. Para isso, vamos precisar entender a diferença entre um elipsóide e uma esfera e como os parâmetros , e influenciam na forma da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um elipsóide é uma generalização da esfera. Enquanto a esfera tem o mesmo raio em todas as direções, o elipsóide pode ter diferentes “raios” ao longo dos eixos x, y e z.
Na equação do elipsóide:
Os valores de , e determinam o quanto a superfície se estende em cada direção. Se , e forem iguais, digamos todos iguais a , a equação se torna:
Que pode ser simplificada para:
Essa é exatamente a equação de uma esfera com raio .

Passo 3

Agora, olhando para a parametrização:
Se quisermos que essa parametrização represente uma esfera, precisamos que o “raio” seja o mesmo em todas as direções. Isso significa que os coeficientes , e devem ser iguais.
Então, se escolhermos , onde é o raio da esfera, a parametrização fica:
E a equação do elipsóide se torna a equação da esfera com raio .

Resposta

Para obter uma esfera, basta escolher , e iguais, ou seja, , onde é o raio da esfera.

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