Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro
). Determine:
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e que pode conter oito litros. Primeiro, sabemos que 1 litro equivale a 1 dm³, então a embalagem tem um volume de 8 dm³. O conteúdo aqui é geometria espacial, especificamente envolvendo prismas e cálculo de área superficial. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o volume e a área superficial de um prisma de base quadrada.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões da embalagem. Como a base é um quadrado, vamos chamar o lado desse quadrado de
(em dm), e a altura do prisma de
(em dm). O volume
de um prisma reto é dado pela fórmula:
Sabemos que o volume é 8 dm³, então:
Podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área superficial
da embalagem. A área superficial de um prisma de base quadrada é a soma das áreas das duas bases quadradas e das quatro faces retangulares laterais. Então:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Portanto, a função que relaciona a área superficial
em função do lado da base
é:
Passo 4
Precisamos agora esboçar o gráfico dessa função
. Para isso, vamos analisar o comportamento da função:
-
Domínio:
, pois não faz sentido ter lados ou alturas negativos. -
Interceptos:
- Não há intercepto com o eixo
porque a função não está definida para . - Para interceptos com o eixo
, resolveríamos , mas como é sempre positiva para , não há interceptos.
- Não há intercepto com o eixo
-
Comportamento para
pequeno: à medida que se aproxima de 0, tende ao infinito, então também tende ao infinito. -
Comportamento para
grande: o termo domina, então tende ao infinito. -
Ponto mínimo: Há um ponto onde
atinge um valor mínimo. Para encontrar esse ponto, derivamos e igualamos a zero:
Então, o ponto mínimo ocorre quando
, e
dm².
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função começa em infinito quando
se aproxima de 0. - Diminui até atingir o ponto mínimo em
, onde dm². - Depois, aumenta novamente para o infinito à medida que
cresce.
O gráfico terá a forma de uma curva com um ponto mínimo em
e se estendendo para cima em ambos os lados.
Resposta
O gráfico da função área superficial
é uma curva que começa em infinito para
próximo de 0, diminui até atingir o ponto mínimo em
com
dm², e depois aumenta novamente para infinito conforme
cresce. A curva é contínua para
e tem uma forma de “U” com uma parte do lado direito crescente.
Exercícios relacionados
Determine a derivada de f , utilizando a k)
Determine a derivada de f , utilizando a g)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
a)
a)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)
b)