Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e que pode conter oito litros. Primeiro, sabemos que 1 litro equivale a 1 dm³, então a embalagem tem um volume de 8 dm³. O conteúdo aqui é geometria espacial, especificamente envolvendo prismas e cálculo de área superficial. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o volume e a área superficial de um prisma de base quadrada.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões da embalagem. Como a base é um quadrado, vamos chamar o lado desse quadrado de (em dm), e a altura do prisma de (em dm). O volume de um prisma reto é dado pela fórmula:
Á
Sabemos que o volume é 8 dm³, então:
Podemos expressar em função de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a área superficial da embalagem. A área superficial de um prisma de base quadrada é a soma das áreas das duas bases quadradas e das quatro faces retangulares laterais. Então:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Portanto, a função que relaciona a área superficial em função do lado da base é:

Passo 4

Precisamos agora esboçar o gráfico dessa função . Para isso, vamos analisar o comportamento da função:
  1. Domínio: , pois não faz sentido ter lados ou alturas negativos.
  2. Interceptos:
    • Não há intercepto com o eixo porque a função não está definida para .
    • Para interceptos com o eixo , resolveríamos , mas como é sempre positiva para , não há interceptos.
  3. Comportamento para pequeno: à medida que se aproxima de 0, tende ao infinito, então também tende ao infinito.
  4. Comportamento para grande: o termo domina, então tende ao infinito.
  5. Ponto mínimo: Há um ponto onde atinge um valor mínimo. Para encontrar esse ponto, derivamos e igualamos a zero:
Então, o ponto mínimo ocorre quando , e dm².

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função começa em infinito quando se aproxima de 0.
  • Diminui até atingir o ponto mínimo em , onde dm².
  • Depois, aumenta novamente para o infinito à medida que cresce.
O gráfico terá a forma de uma curva com um ponto mínimo em e se estendendo para cima em ambos os lados.

Resposta

O gráfico da função área superficial é uma curva que começa em infinito para próximo de 0, diminui até atingir o ponto mínimo em com dm², e depois aumenta novamente para infinito conforme cresce. A curva é contínua para e tem uma forma de “U” com uma parte do lado direito crescente.

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Determine a derivada de f , utilizando a k)
Determine a derivada de f , utilizando a g)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
a)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)