Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. O objetivo é entender como essa função se comporta usando derivadas de primeira e segunda ordem. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas, identificar onde a função cresce ou decresce, verificar a concavidade, encontrar extremos e pontos de inflexão, além de identificar interceptos e possíveis assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de primeira ordem de
. A derivada nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Essa derivada nos mostra que, dependendo do sinal de
, a função poderá estar crescendo ou decrescendo.
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa para determinar o crescimento e decrescimento da função.
Como o denominador
é sempre positivo, o sinal de
depende do numerador
:
- Se
, ⇒ função está decrescendo. - Se
, ⇒ função está crescendo. - Se
, ⇒ possível extremo.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de segunda ordem para entender a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Isso nos ajudará a saber se a concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 5
Vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade:
O denominador é sempre positivo, então o sinal de
depende de
:
- Se
⇒ ⇒ concavidade para cima. - Se
⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Se
⇒ ⇒ pontos de inflexão.
Passo 6
Vamos identificar os interceptos e assíntotas da função:
- Intercepto com o eixo y: quando
,
Então, o intercepto com o eixo y é
.
- Interceptos com o eixo x: quando
,
Isso nunca acontece, pois o numerador é 3 e o denominador é sempre positivo. Logo, não há interceptos com o eixo x.
- Assíntotas: analisando o limite quando
tende ao infinito,
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 7
Resumindo todas as informações:
- A função tem um intercepto em
. - Não há interceptos com o eixo x.
- Possui uma assíntota horizontal em
. - A função cresce quando
e decresce quando . - Há um ponto máximo em
com . - Pontos de inflexão em
: - Para
, concavidade para baixo. - Para
, concavidade para cima.
- Para
Resposta
A função
possui um intercepto em
, nenhuma interseção com o eixo x, e uma assíntota horizontal em
. Ela cresce para
e decresce para
, tendo um ponto máximo em
. Além disso, apresenta pontos de inflexão em
, com concavidade para baixo entre esses pontos e concavidade para cima fora deles.
Exercícios relacionados
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro
). Determine:
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.
Determine a derivada de f , utilizando a k)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)
b)
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). Determine:
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.
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