Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
a)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . O objetivo é entender como essa função se comporta usando derivadas de primeira e segunda ordem. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas, identificar onde a função cresce ou decresce, verificar a concavidade, encontrar extremos e pontos de inflexão, além de identificar interceptos e possíveis assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de primeira ordem de . A derivada nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:
Essa derivada nos mostra que, dependendo do sinal de , a função poderá estar crescendo ou decrescendo.

Passo 3

Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa para determinar o crescimento e decrescimento da função.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de depende do numerador :
  • Se , ⇒ função está decrescendo.
  • Se , ⇒ função está crescendo.
  • Se , ⇒ possível extremo.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de segunda ordem para entender a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Isso nos ajudará a saber se a concavidade é para cima ou para baixo.

Passo 5

Vamos analisar o sinal de para determinar a concavidade:
O denominador é sempre positivo, então o sinal de depende de :
  • Se ⇒ concavidade para cima.
  • Se ⇒ concavidade para baixo.
  • Se ⇒ pontos de inflexão.

Passo 6

Vamos identificar os interceptos e assíntotas da função:
  • Intercepto com o eixo y: quando ,
Então, o intercepto com o eixo y é .
  • Interceptos com o eixo x: quando ,
Isso nunca acontece, pois o numerador é 3 e o denominador é sempre positivo. Logo, não há interceptos com o eixo x.
  • Assíntotas: analisando o limite quando tende ao infinito,
Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 7

Resumindo todas as informações:
  • A função tem um intercepto em .
  • Não há interceptos com o eixo x.
  • Possui uma assíntota horizontal em .
  • A função cresce quando e decresce quando .
  • Há um ponto máximo em com .
  • Pontos de inflexão em :
    • Para , concavidade para baixo.
    • Para , concavidade para cima.

Resposta

A função possui um intercepto em , nenhuma interseção com o eixo x, e uma assíntota horizontal em . Ela cresce para e decresce para , tendo um ponto máximo em . Além disso, apresenta pontos de inflexão em , com concavidade para baixo entre esses pontos e concavidade para cima fora deles.

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Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.
Determine a derivada de f , utilizando a k)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
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