Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b) f(x)=5 x^3 + 3 x^5

Passo 1

Beleza! A gente vai estudar o comportamento da função usando derivadas de primeira e segunda ordem. Isso vai nos ajudar a entender como a função cresce ou decresce, onde tem máximos ou mínimos, a concavidade do gráfico, pontos de inflexão, interceptos com os eixos e se tem alguma assíntota. Vamos precisar calcular as derivadas, analisar seus sinais e interpretar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de primeira ordem, que nos diz onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de segunda ordem, que nos ajuda a determinar a concavidade do gráfico.
A derivada de segunda ordem é:

Passo 4

Vamos analisar onde a derivada de primeira ordem é zero para encontrar possíveis extremos (máximos ou mínimos).
Resolvendo :
Como nunca é zero, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para saber se é um máximo ou mínimo, vamos usar a derivada de segunda ordem.
Calculando :
Como a segunda derivada também é zero, precisamos analisar o comportamento ao redor de . Observando , percebemos que é sempre não negativa, indicando que é um ponto de mínimo relativo.

Passo 6

Agora, vamos verificar a concavidade utilizando a segunda derivada.
Analisando :
  • Para : (concava para cima).
  • Para : (concava para baixo).
  • Em : ponto de inflexão, pois a concavidade muda.

Passo 7

Vamos encontrar os interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: . Então, o ponto é .
  • Interceptos com o eixo x: Resolver :
Portanto, o único intercepto é .

Passo 8

Como a função é um polinômio de grau ímpar (5), sabemos que ela não tem assíntotas verticais ou horizontais. O comportamento para é:
  • Para , .
  • Para , .

Passo 9

Resumindo todas as informações:
  • Crescimento: Para todo , já que .
  • Decrescimento: Não há intervalos de decrescimento.
  • Concavidade:
    • Concava para baixo quando .
    • Concava para cima quando .
  • Extremo Relativo: Mínimo em .
  • Ponto de Inflexão: Em .
  • Interceptos: Apenas em .
  • Assíntotas: Não possui.

Resposta

A função tem um mínimo relativo em , é crescente em todo o seu domínio, possui um ponto de inflexão em , e o único intercepto é no ponto . Não possui assíntotas.

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