Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)

Passo 1

Beleza! A gente vai estudar o comportamento da função usando derivadas de primeira e segunda ordem. Isso vai nos ajudar a entender como a função cresce ou decresce, onde tem máximos ou mínimos, a concavidade do gráfico, pontos de inflexão, interceptos com os eixos e se tem alguma assíntota. Vamos precisar calcular as derivadas, analisar seus sinais e interpretar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de primeira ordem, que nos diz onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de segunda ordem, que nos ajuda a determinar a concavidade do gráfico.
A derivada de segunda ordem é:

Passo 4

Vamos analisar onde a derivada de primeira ordem é zero para encontrar possíveis extremos (máximos ou mínimos).
Resolvendo :
Como nunca é zero, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para saber se é um máximo ou mínimo, vamos usar a derivada de segunda ordem.
Calculando :
Como a segunda derivada também é zero, precisamos analisar o comportamento ao redor de . Observando , percebemos que é sempre não negativa, indicando que é um ponto de mínimo relativo.

Passo 6

Agora, vamos verificar a concavidade utilizando a segunda derivada.
Analisando :
  • Para : (concava para cima).
  • Para : (concava para baixo).
  • Em : ponto de inflexão, pois a concavidade muda.

Passo 7

Vamos encontrar os interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: . Então, o ponto é .
  • Interceptos com o eixo x: Resolver :
Portanto, o único intercepto é .

Passo 8

Como a função é um polinômio de grau ímpar (5), sabemos que ela não tem assíntotas verticais ou horizontais. O comportamento para é:
  • Para , .
  • Para , .

Passo 9

Resumindo todas as informações:
  • Crescimento: Para todo , já que .
  • Decrescimento: Não há intervalos de decrescimento.
  • Concavidade:
    • Concava para baixo quando .
    • Concava para cima quando .
  • Extremo Relativo: Mínimo em .
  • Ponto de Inflexão: Em .
  • Interceptos: Apenas em .
  • Assíntotas: Não possui.

Resposta

A função tem um mínimo relativo em , é crescente em todo o seu domínio, possui um ponto de inflexão em , e o único intercepto é no ponto . Não possui assíntotas.

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Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
a)
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
d) Esboce o grafico da função área superficial da embalagem.
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
b) Descreva o domínio da função área total da embalagem.