Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
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Passo 1
Beleza! A gente vai estudar o comportamento da função
usando derivadas de primeira e segunda ordem. Isso vai nos ajudar a entender como a função cresce ou decresce, onde tem máximos ou mínimos, a concavidade do gráfico, pontos de inflexão, interceptos com os eixos e se tem alguma assíntota. Vamos precisar calcular as derivadas, analisar seus sinais e interpretar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de primeira ordem, que nos diz onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de segunda ordem, que nos ajuda a determinar a concavidade do gráfico.
A derivada de segunda ordem é:
Passo 4
Vamos analisar onde a derivada de primeira ordem é zero para encontrar possíveis extremos (máximos ou mínimos).
Resolvendo
:
Como
nunca é zero, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para saber se
é um máximo ou mínimo, vamos usar a derivada de segunda ordem.
Calculando
:
Como a segunda derivada também é zero, precisamos analisar o comportamento ao redor de
. Observando
, percebemos que
é sempre não negativa, indicando que
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 6
Agora, vamos verificar a concavidade utilizando a segunda derivada.
Analisando
:
- Para
: (concava para cima). - Para
: (concava para baixo). - Em
: ponto de inflexão, pois a concavidade muda.
Passo 7
Vamos encontrar os interceptos:
-
Intercepto com o eixo y:
. Então, o ponto é . -
Interceptos com o eixo x: Resolver
:
Portanto, o único intercepto é
.
Passo 8
Como a função é um polinômio de grau ímpar (5), sabemos que ela não tem assíntotas verticais ou horizontais. O comportamento para
é:
- Para
, . - Para
, .
Passo 9
Resumindo todas as informações:
- Crescimento: Para todo
, já que . - Decrescimento: Não há intervalos de decrescimento.
- Concavidade:
- Concava para baixo quando
. - Concava para cima quando
.
- Concava para baixo quando
- Extremo Relativo: Mínimo em
. - Ponto de Inflexão: Em
. - Interceptos: Apenas em
. - Assíntotas: Não possui.
Resposta
A função
tem um mínimo relativo em
, é crescente em todo o seu domínio, possui um ponto de inflexão em
, e o único intercepto é no ponto
. Não possui assíntotas.