Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e sabe que ela contém 8 litros (o que equivale a 8 dm³). O que a gente precisa fazer aqui é descobrir a área total da superfície dessa embalagem, mas expressa como uma função de uma variável. Para isso, vamos usar fórmulas de geometria para prismas e um pouquinho de álgebra para relacionar as medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um prisma reto de base quadrada. É uma figura geométrica que tem duas bases que são quadrados iguais e faces laterais que são retângulos. A área total da superfície desse prisma será a soma das áreas das duas bases mais as áreas das faces laterais.

Passo 3

Vamos chamar o lado da base quadrada de (em dm). Então, cada base tem uma área de . Como são duas bases, a área total das bases é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a área das faces laterais. A altura do prisma, que vamos chamar de , está relacionada ao volume. Sabemos que o volume de um prisma é dado por:
á
Dessa equação, podemos isolar :

Passo 5

Cada face lateral é um retângulo com lados e . Então, a área de uma face lateral é . Como há quatro faces laterais, a área total das faces laterais é:

Passo 6

Agora, juntando tudo, a área total da superfície do prisma é a soma das áreas das bases e das faces laterais:

Resposta

A área total da superfície da embalagem é dada pela função:

Exercícios relacionados

Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
a)
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
b) Descreva o domínio da função área total da embalagem.
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.