Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro
). Determine:
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e que guarda 8 litros de suco. O que a gente precisa encontrar são as dimensões (ou seja, o tamanho dos lados) dessa embalagem que resultam na menor área superficial possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a volume e área superficial de prismas.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que significa ter uma base quadrada. Se a base é um quadrado, todos os lados dela têm o mesmo tamanho. Vamos chamar esse tamanho de
(em decímetros, já que 1 litro equivale a 1 dm³). A altura da embalagem vamos chamar de
.
Passo 3
Agora, como a embalagem contém 8 litros, que é igual a 8 dm³, podemos relacionar isso ao volume do prisma. A fórmula do volume
de um prisma com base quadrada é:
Sabemos que
, então:
Vamos isolar
:
Passo 4
Vamos agora para a área superficial
da embalagem. A área superficial de um prisma reto com base quadrada é dada por:
Aqui,
é a ��rea das duas bases quadradas e
é a área das quatro laterais retangulares.
Passo 5
Substituindo o valor de
que encontramos no passo 3 na fórmula da área superficial, temos:
Agora, nossa função para a área superficial em termos de
é:
Passo 6
Queremos encontrar o valor de
que minimiza essa área superficial. Para isso, vamos usar cálculo diferencial. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então:
Passo 8
Agora que temos
dm, vamos encontrar
usando a relação que encontramos no passo 3:
Resposta
As dimensões da embalagem de menor área superficial são
dm e
dm.
Exercícios relacionados
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro
). Determine:
b) Descreva o domínio da função área total da embalagem.
b) Descreva o domínio da função área total da embalagem.
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro
). Determine:
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
a) e
a)
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
d) é a região do primeiro quadrante delimitada pelas funções
d)