Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e que guarda 8 litros de suco. O que a gente precisa encontrar são as dimensões (ou seja, o tamanho dos lados) dessa embalagem que resultam na menor área superficial possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a volume e área superficial de prismas.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que significa ter uma base quadrada. Se a base é um quadrado, todos os lados dela têm o mesmo tamanho. Vamos chamar esse tamanho de (em decímetros, já que 1 litro equivale a 1 dm³). A altura da embalagem vamos chamar de .

Passo 3

Agora, como a embalagem contém 8 litros, que é igual a 8 dm³, podemos relacionar isso ao volume do prisma. A fórmula do volume de um prisma com base quadrada é:
Sabemos que , então:
Vamos isolar :

Passo 4

Vamos agora para a área superficial da embalagem. A área superficial de um prisma reto com base quadrada é dada por:
Aqui, é a ��rea das duas bases quadradas e é a área das quatro laterais retangulares.

Passo 5

Substituindo o valor de que encontramos no passo 3 na fórmula da área superficial, temos:
Agora, nossa função para a área superficial em termos de é:

Passo 6

Queremos encontrar o valor de que minimiza essa área superficial. Para isso, vamos usar cálculo diferencial. Precisamos encontrar a derivada de em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 4:
Então:

Passo 8

Agora que temos dm, vamos encontrar usando a relação que encontramos no passo 3:

Resposta

As dimensões da embalagem de menor área superficial são dm e dm.

Exercícios relacionados

Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
b) Descreva o domínio da função área total da embalagem.
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
a) e
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
d) é a região do primeiro quadrante delimitada pelas funções