Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
b) Descreva o domínio da função área total da embalagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e contém 8 litros. Primeiro, lembrando que 1 litro é igual a 1 decímetro cúbico ( ). O conteúdo dessa questão está na geometria, especificamente no estudo de prismas e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que é a área total de um prisma e como determinar seu domínio, ou seja, os valores possíveis para as medidas que definem essa área total.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o volume ( ) de um prisma reto de base quadrada é dado por:
onde é o lado da base quadrada e é a altura do prisma.
Sabemos que o volume é 8 dm³, então:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a função da área total ( ) da embalagem. A área total de um prisma reto de base quadrada é a soma das áreas das duas bases e das quatro faces laterais. A fórmula é:

Passo 4

Queremos expressar a área total em termos de uma única variável. Podemos resolver a equação do volume para :
Substituindo isso na fórmula da área total:

Passo 5

Agora, para descrever o domínio dessa função, precisamos identificar os valores de que tornam a função válida.
Primeiro, o lado da base quadrada deve ser maior que zero:
Além disso, como , a altura também deve ser positiva:
Isso já está garantido se .
Portanto, não há outras restrições além de ser um número positivo.

Resposta

O domínio da função área total da embalagem é todos os números reais positivos para , ou seja:

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Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
a) Descreva a área total da superfície da embalagem como função de uma variavel.
Estude o comportamento de cada função, a partir das derivadas de primeira e segunda ordem. Esboce o gráfico de cada função destacando suas principais características, como crescimento, decrescimento e descontinuidade, concavidade positiva ou negativa, extremos relativos, pontos de inflexão, interceptos e assíntotas, se existirem.
b)
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro ). Determine:
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
a) e