Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano x y e pelo cone z = 9 - raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido que está limitado pelo plano xy (ou seja, onde z = 0) e pelo cone dado pela equação . Vamos usar coordenadas polares para facilitar nossos cálculos. Coisas que vamos usar: coordenadas polares, integração em coordenadas polares e um pouquinho de geometria dos sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o cone . Essa equação nos diz que, para cada ponto (x, y) no plano, a altura z é igual a 9 menos a distância do ponto (x, y) à origem, que é .
Em coordenadas polares, lembrando que e , a distância à origem é simplesmente r. Então, a equação do cone fica:

Passo 3

Agora, queremos achar o volume entre esse cone e o plano xy (onde z = 0). Vamos visualizar isso: o cone começa em z = 9 quando r = 0 e desce até z = 0 quando . Assim, o raio máximo do nosso sólido é .
Para calcular o volume, vamos integrar a função em coordenadas polares, variando r de 0 a 9 e theta de 0 a (já que estamos lidando com um círculo completo).

Passo 4

A fórmula para o volume em coordenadas polares é:
Aqui, é a altura do sólido em cada ponto e é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
Integrando termo a termo:
Então, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão de r = 0 até :
Para :
Para r = 0, obviamente, a expressão é 0. Então, a integral interna resulta em 121.5.

Passo 7

Agora, voltamos à integral externa em relação a theta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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