Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano e pelo cone .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido que está limitado pelo plano (ou seja, onde ) e pelo cone dado pela equação . Vamos usar coordenadas polares para facilitar nossos cálculos. Coisas que vamos usar: coordenadas polares, integração em coordenadas polares e um pouquinho de geometria dos sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o cone . Essa equação nos diz que, para cada ponto no plano, a altura é igual a 9 menos a distância do ponto à origem, que é .
Em coordenadas polares, lembrando que e , a distância à origem é simplesmente . Então, a equação do cone fica:
Passo 3
Agora, queremos achar o volume entre esse cone e o plano (onde ). Vamos visualizar isso: o cone começa em quando e desce até quando . Assim, o raio máximo do nosso sólido é .
Para calcular o volume, vamos integrar a função em coordenadas polares, variando de 0 a 9 e de 0 a (já que estamos lidando com um círculo completo).
Passo 4
A fórmula para o volume em coordenadas polares é:
Aqui, é a altura do sólido em cada ponto e é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Para :
Para , obviamente, a expressão é 0. Então, a integral interna resulta em 121.5.