Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo problema de valor inicial:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das Equações Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do Fator Integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação que seguem a forma geral:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). Esse fator é essencial para transformar a equação original em uma forma onde possamos integrar facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Como estamos considerando
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Observa que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo de volta na equação integrada:
Agora, resolvemos para
:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária. Para elaborar o gráfico da função resposta, você pode escolher diferentes valores de
e plotar as respectivas curvas. Por exemplo, utilizando softwares como o Desmos ou o GeoGebra, insira a função com valores específicos de
para visualizar como a solução se comporta graficamente.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis (Não esqueça de manter a constante na resposta final).
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Empregando
e
determine o tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de
.