Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver a equação diferencial de valor inicial
e depois fazer um gráfico da solução. Aqui, lidamos com equações diferenciais lineares, que são importantes para entender como as coisas mudam em relação a uma variável, geralmente o tempo ou, nesse caso,
. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está no formato:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação à esquerda em uma derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito:
Então:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária. O gráfico dessa função será uma parábola
ajustada pelo termo
, variando conforme o valor de
.