Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
2xy' - y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver a equação diferencial de valor inicial e depois fazer um gráfico da solução. Aqui, lidamos com equações diferenciais lineares, que são importantes para entender como as coisas mudam em relação a uma variável, geralmente o tempo ou, nesse caso, . Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, a equação está no formato:
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso transforma a equação à esquerda em uma derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito:
Então:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária. O gráfico dessa função será uma parábola ajustada pelo termo , variando conforme o valor de .

Exercícios relacionados