Empregando a transformada de Laplace (em relação a ) resolva o seguinte problema
Dica: Ao resolver a EDO não-homogênea, busque uma solução particular da forma
sendo e constantes a serem determinadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial parcial usando a transformada de Laplace em relação ao tempo . A equação que temos é:
Também temos as condições de contorno e a condição inicial para .
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial parcial em uma equação algébrica mais simples. Além disso, vamos usar a Série de Fourier para expandir a solução em termos de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial em relação a . Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada parcial em relação a é:
Onde é a transformada de Laplace de .
Aplicando a transformada na equação dada:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial :
Rearranjando os termos:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial ordinária não homogênea em . Para resolvê-la, procuramos a solução geral que é a soma da solução homogênea e da solução particular :
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, buscamos uma solução particular da forma sugerida:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes e .
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias de :
Substituímos e sua segunda derivada na equação não homogênea:
Passo 8
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todos os , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo para :
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral na transformada de Laplace é a soma da solução homogênea e particular:
Passo 12
Aplicamos as condições de contorno . Na transformada, isso implica:
Substituindo na solução geral:
Substituindo :
Para não trivializar a solução, escolhemos .
Passo 13
Assim, a solução na transformada de Laplace simplifica para:
Passo 14
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que: