Empregando a transformada de Laplace (em relação a t ) resolva o seguinte problema
partial upartial t=partial^2 upartial x^2-4 u(x, t), 00 u(0, t)=u(pi, t)=0, t>0 u(x, 0)=6 sin (x)-4 sin (2 x), 0
Dica: Ao resolver a EDO não-homogênea, busque uma solução particular da forma
Up(x, s)=A sin x+B cos x+C sin (2 x)+D cos (2 x)
sendo A, B, C e D constantes a serem determinadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial parcial usando a transformada de Laplace em relação ao tempo partial upartial t = partial^2 upartial x^2 - 4 u(x, t), 0 < x < pi, t > 0 . A equação que temos é:
Também temos as condições de contorno e a condição inicial para .
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial parcial em uma equação algébrica mais simples. Além disso, vamos usar a Série de Fourier para expandir a solução em termos de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial em relação a Lpartial upartial t = s U(x, s) - u(x, 0) . Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada parcial em relação a s U(x, s) - u(x, 0) = partial^2 Upartial x^2 - 4 U(x, s) é:
Onde é a transformada de Laplace de .
Aplicando a transformada na equação dada:

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial s U(x, s) - (6 sin(x) - 4 sin(2x)) = partial^2 Upartial x^2 - 4 U(x, s) :
partial^2 Upartial x^2 - (s + 4) U(x, s) = -6 sin(x) + 4 sin(2x)
Rearranjando os termos:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial ordinária não homogênea em U(x, s) = Uh(x, s) + Up(x, s) . Para resolvê-la, procuramos a solução geral que é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
partial^2 Uhpartial x^2 - (s + 4) Uh = 0
A solução geral da equação homogênea é:
Uh(x, s) = C1 sin(raizs + 4, x) + C2 cos(raizs + 4, x)

Passo 6

Agora, buscamos uma solução particular da forma sugerida:
Up(x, s) = A sin x + B cos x + C sin(2x) + D cos(2x)
Nosso objetivo é determinar os coeficientes e .

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias de partial^2 Uppartial x^2 = -A sin x - B cos x -4 C sin(2x) -4 D cos(2x) :
(-A sin x - B cos x -4 C sin(2x) -4 D cos(2x)) - (s + 4)(A sin x + B cos x + C sin(2x) + D cos(2x)) = -6 sin x + 4 sin(2x)
Substituímos e sua segunda derivada na equação não homogênea:

Passo 8

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
[-A - (s + 4)A] sin x + [-B - (s + 4)B] cos x + [-4C - (s + 4)C] sin(2x) + [-4D - (s + 4)D] cos(2x) = -6 sin x + 4 sin(2x)
Simplificando os coeficientes:
-(s + 5)A sin x - (s + 5)B cos x - (s + 8)C sin(2x) - (s + 8)D cos(2x) = -6 sin x + 4 sin(2x)

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todos os -(s + 5)A = -6 -(s + 5)B = 0 -(s + 8)C = 4 -(s + 8)D = 0 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
A = 6s + 5, B = 0, C = -4s + 8, D = 0
Resolvendo para :

Passo 10

Portanto, a solução particular é:
Up(x, s) = 6s + 5 sin x - 4s + 8 sin(2x)

Passo 11

A solução geral na transformada de Laplace é a soma da solução homogênea e particular:
U(x, s) = C1 sin(raizs + 4, x) + C2 cos(raizs + 4, x) + 6s + 5 sin x - 4s + 8 sin(2x)

Passo 12

Aplicamos as condições de contorno U(0, s) = 0 e U(pi, s) = 0 . Na transformada, isso implica:
0 = C2 + 6s + 5 cdot 0 - 4s + 8 cdot 0 Rightarrow C2 = 0
Substituindo 0 = C1 sin(raizs + 4, pi) + 6s + 5 sin pi - 4s + 8 sin(2pi) Rightarrow C1 sin(raizs + 4, pi) = 0 na solução geral:
Substituindo :
Para não trivializar a solução, escolhemos .

Passo 13

Assim, a solução na transformada de Laplace simplifica para:
U(x, s) = 6s + 5 sin x - 4s + 8 sin(2x)

Passo 14

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-11s + a = e^-a t . Sabemos que:
u(x, t) = 6 e^-5 t sin x - 4 e^-8 t sin(2x)
Aplicando isso à nossa solução:

Resposta

A solução da equação dada é:
u(x, t) = 6, e^-5 t sin x - 4, e^-8 t sin(2x)

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