Empregando a transformada de Laplace (em relação a ) resolva o seguinte problema
Dica: Ao resolver a EDO não-homogênea, busque uma solução particular da forma
sendo e constantes a serem determinadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial parcial usando a transformada de Laplace em relação ao tempo . A equação que temos é:
Também temos as condições de contorno e a condição inicial para .
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial parcial em uma equação algébrica mais simples. Além disso, vamos usar a Série de Fourier para expandir a solução em termos de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial em relação a . Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada parcial em relação a é:
Onde é a transformada de Laplace de .
Aplicando a transformada na equação dada:

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial :
Rearranjando os termos:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial ordinária não homogênea em . Para resolvê-la, procuramos a solução geral que é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, buscamos uma solução particular da forma sugerida:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes e .

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias de :
Substituímos e sua segunda derivada na equação não homogênea:

Passo 8

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todos os , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo para :

Passo 10

Portanto, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral na transformada de Laplace é a soma da solução homogênea e particular:

Passo 12

Aplicamos as condições de contorno . Na transformada, isso implica:
Substituindo na solução geral:
Substituindo :
Para não trivializar a solução, escolhemos .

Passo 13

Assim, a solução na transformada de Laplace simplifica para:

Passo 14

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso à nossa solução:

Resposta

A solução da equação dada é:

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