Utiliza transformada de Fourier (na variável
) para resolver a equação do telégrafo na corda infinita dada por
onde
. Este problema é uma variação da equação da corda em que consideramos termos de dissipação (
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver uma equação diferencial chamada equação do telégrafo numa corda infinita. A equação é:
Aqui,
e
são constantes. Nosso objetivo é usar a transformada de Fourier na variável
para encontrar a solução dessa equação. A transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a transformar equações diferenciais parciais em equações mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em
em ambos os lados da equação. A transformada de Fourier de uma função
é definida como:
Aplicando essa transformada na equação original, temos:
Sabemos que a transformada de Fourier de uma derivada em
é:
Então, substituindo na equação:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária em
para
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde
, e
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Para encontrar a solução no domínio espacial, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Substituindo
na integral:
Essa integral pode ser resolvida utilizando propriedades das funções trigonométricas e exponenciais, resultando na solução geral da equação do telégrafo.
Resposta
A solução geral da equação do telégrafo na corda infinita é:
onde
e
são funções definidas pelas condições iniciais do problema.