Utiliza transformada de Fourier (na variável x ) para resolver a equação do telégrafo na corda infinita dada por
u_tt + 2 alpha u_t + alpha^2 u = c^2 u_xx
onde c > 0. Este problema é uma variação da equação da corda em que consideramos termos de dissipação (

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver uma equação diferencial chamada equação do telégrafo numa corda infinita. A equação é:
Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é usar a transformada de Fourier na variável para encontrar a solução dessa equação. A transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a transformar equações diferenciais parciais em equações mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em em ambos os lados da equação. A transformada de Fourier de uma função é definida como:
Aplicando essa transformada na equação original, temos:
Sabemos que a transformada de Fourier de uma derivada em é:
Então, substituindo na equação:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária em para :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde , e e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Para encontrar a solução no domínio espacial, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida utilizando propriedades das funções trigonométricas e exponenciais, resultando na solução geral da equação do telégrafo.

Resposta

A solução geral da equação do telégrafo na corda infinita é:
onde e são funções definidas pelas condições iniciais do problema.

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