Utilize transformada de Laplace para encontrar a solução do problema de valor inicial abaixo envolvendo uma equação diferencial ordinária
satisfazendo as condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O exercício pede pra achar a solução da equação
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como usar as condições iniciais para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
e a de
é
. Então, temos:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Agora, precisamos simplificar essa fração para facilitar a inversão da Transformada de Laplace.
Passo 5
Completemos o quadrado no denominador
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 6
Vamos separar a fração:
Isso nos ajuda a identificar as transformadas conhecidas.
Passo 7
Sabemos que:
Comparando com nossa expressão, temos
e
(já que
).
Passo 8
Agora, escrevemos
como uma soma de duas transformadas conhecidas:
Aplicando a Transformada inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é
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e
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