Utilize transformada de Laplace para encontrar a solução do problema de valor inicial abaixo envolvendo uma equação diferencial ordinária
satisfazendo as condições iniciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O exercício pede pra achar a solução da equação com as condições iniciais e . Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como usar as condições iniciais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é e a de é . Então, temos:
Substituindo pelas transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos resolver para :
Agora, precisamos simplificar essa fração para facilitar a inversão da Transformada de Laplace.

Passo 5

Completemos o quadrado no denominador :
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Vamos separar a fração:
Isso nos ajuda a identificar as transformadas conhecidas.

Passo 7

Sabemos que:
Comparando com nossa expressão, temos e (já que ).

Passo 8

Agora, escrevemos como uma soma de duas transformadas conhecidas:
Aplicando a Transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é

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