Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
e as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares usando o método de variação de parâmetros. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea correspondente:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação das soluções trigonométricas seno e cosseno. Assim, temos:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
Usaremos o método de variação de parâmetros, que nos permite encontrar uma solução particular quando a equação não é homogênea. Para isso, assumimos que os coeficientes
e
não são constantes, mas funções de
:
Derivando
, obtemos:
Substituindo
e suas derivadas na equação original e simplificando, podemos resolver para
e
. No entanto, para simplificar os cálculos, impomos que:
O que leva a:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
, e então integramos para obter
e
. Após esses cálculos, obtemos a solução particular
.
Passo 4
Com a solução geral da equação homogênea
e a solução particular
, a solução geral da equação completa é:
Passo 5
Por fim, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar as constantes
e
.
Substituindo
na solução geral:
E derivando
e substituindo
:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, atendendo às condições iniciais
e
, é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
é a solução particular encontrada pelo método de variação de parâmetros.
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sendo
e
constantes a serem determinadas.
Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
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Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
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