Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se y1 e y2 são soluções da homogênea e encontre a solução geral. y'' + y = 6 x^(-3), y(0) = 1, y'(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
e as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares usando o método de variação de parâmetros. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea correspondente:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação das soluções trigonométricas seno e cosseno. Assim, temos:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa:
Usaremos o método de variação de parâmetros, que nos permite encontrar uma solução particular quando a equação não é homogênea. Para isso, assumimos que os coeficientes e não são constantes, mas funções de :
Derivando , obtemos:
Substituindo e suas derivadas na equação original e simplificando, podemos resolver para e . No entanto, para simplificar os cálculos, impomos que:
O que leva a:
Resolvendo esse sistema, encontramos e , e então integramos para obter e . Após esses cálculos, obtemos a solução particular .

Passo 4

Com a solução geral da equação homogênea e a solução particular , a solução geral da equação completa é:

Passo 5

Por fim, aplicamos as condições iniciais e para determinar as constantes e .
Substituindo na solução geral:
E derivando e substituindo :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, atendendo às condições iniciais e , é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais, e é a solução particular encontrada pelo método de variação de parâmetros.

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