Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui,
muda de valor dependendo de
:
- Para
, - Para
,
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem. Esse método ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver para o intervalo
onde
.
A equação fica:
Vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Aqui,
, então:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Usando a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
onde
.
A equação fica:
Usamos novamente o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Obtemos:
Isolando
:
Passo 5
Precisamos determinar a constante
para
. Para isso, garantimos que a solução seja contínua em
.
Na solução para
:
Na solução para
:
Igualamos as duas expressões:
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Substituindo
na solução para
:
Podemos simplificar:
Mas é mais claro manter na forma inicial:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função
(a) Mostre que
tem uma descontinuidade removível
.
(b) Redefina de modo que
seja contínua em
(25.
26.
(b) Redefina
26.
Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica dois produtos: um básico e um mais sofisticado. A produção mensal da empresa é dada pela função:
em que
é o número de produtos básicos e
o número de produtos sofisticados feitos mensalmente. Existe um limite para a produção mensal de tais componentes de forma que
.
Determine as quantidades e
que maximizam a produção dessa empresa e justifique por que os valores de
e
que você encontrou maximizam a produção.
Determine as quantidades
Resolva os seguintes PVIs: