Resolva os seguintes PVIs:
y^prime+y & =f(t), y(0)=0, onde f(t) & =ll 1, & 0 <= t<1 -1, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
y^prime + y = f(t), y(0) = 0
Aqui, muda de valor dependendo de :
  • Para ,
  • Para ,
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem. Esse método ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver para o intervalo y^prime + y = 1 onde mu(t) = e^integral P(t) , dt .
A equação fica:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t
Vamos usar o fator integrante. O fator integrante e^t y^prime + e^t y = e^t cdot 1 é dado por:
ddt ( e^t y ) = e^t
Aqui, , então:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a integral ddt ( e^t y ) dt = integral e^t dt :
e^t y = e^t + C
Isso resulta em:
y = 1 + C e^-t
Onde 0 = 1 + C e^0 implies 0 = 1 + C implies C = -1 é a constante de integração. Agora, isolamos y(t) = 1 - e^-t :
Usando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos resolver para y^prime + y = -1 onde e^t y^prime + e^t y = -e^t .
A equação fica:
ddt ( e^t y ) = -e^t
Usamos novamente o fator integrante integral ddt ( e^t y ) dt = integral -e^t dt :
Multiplicando toda a equação por e^t y = -e^t + C :
y = -1 + C e^-t
Simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Obtemos:
Isolando :

Passo 5

Precisamos determinar a constante y(1^-) = 1 - e^-1 para y(1^+) = -1 + C e^-1 . Para isso, garantimos que a solução seja contínua em 1 - e^-1 = -1 + C e^-1 .
Na solução para 1 + 1 - e^-1 = C e^-1 implies 2 - e^-1 = C e^-1 :
C = 2 e^1 - 1
Na solução para :
Igualamos as duas expressões:
Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Substituindo y(t) = -1 + (2 e - 1) e^-t na solução para y(t) = -1 + (2 e^-t +1 - e^-t) = 1 - e^-t -2 e^-t :
y(t) = -1 + (2 e -1)e^-t
Podemos simplificar:
Mas é mais claro manter na forma inicial:

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 1 - e^-t, & para 0 <= t < 1 -1 + (2 e - 1) e^-t, & para t >= 1

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