Uma empresa irá implantar um sistema de desligamento automático em um forno industrial que tem a função de tratamento térmico de peças metálicas. Esse sistema atuará desligando o forno no momento em que ele atinge a temperatura máxima. Considere-se que a função da temperatura interna do forno é dada por: T(t) = –t² + 10t + 800, em que T é a temperatura do forno, em °C, e t o tempo, em segundos. Sabe-se que o sistema de desligamento automático funcionará corretamente. Com a instalação desse sistema, o forno será desligado automaticamente quando sua temperatura interna for igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um forno industrial que trata peças metálicas e que vai ter um sistema automático de desligamento. Esse sistema vai desligar o forno quando a temperatura interna atingir o seu valor máximo. A função que descreve a temperatura é $ T(t) = -t^2 + 10t + 800 $, onde $ T $ é a temperatura em graus Celsius e $ t $ é o tempo em segundos. Para resolver isso, a gente precisa encontrar qual é a temperatura máxima que o forno vai alcançar usando essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função dada é uma função quadrática, do tipo $ T(t) = at^2 + bt + c $. Nesse caso, $ a = -1 $, $ b = 10 $ e $ c = 800 $. Como o coeficiente de $ t^2 $ é negativo ($ a = -1 $), isso significa que o gráfico dessa função é uma parábola voltada para baixo, ou seja, ela tem um ponto máximo.
Passo 3
Para encontrar o tempo $ t $ em que a temperatura atinge esse máximo, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada $ t $ do vértice é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Então, o forno atinge a temperatura máxima aos 5 segundos.
Passo 4
Agora que sabemos em quantos segundos isso acontece, vamos calcular qual é essa temperatura máxima substituindo $ t = 5 $ na função $ T(t) $:
Portanto, a temperatura máxima que o forno alcança é de 825°C.
Resposta
O forno será desligado automaticamente quando a temperatura interna for igual a 825°C.