Uma empresa produz canudos de metal reutilizáveis emformato cilíndrico, com 20 cm de comprimento e 0,5 cm de diâmetro. Alguns clientes sugeriram a fabricação de umcanudo com diâmetro maior, mas que mantivesse o mesmocomprimento. A empresa determinou o volume do novo canudosendo igual a 15 cm³.Utilize a aproximação π= 3,0.Qual deve ser o aumento, em centímetros, no raio do canudopara que se tenha o volume desejado?A 0,1 cmB 0,2 cmC 0,25 cmD 0,5 cmE 0,6 cm
Passo 1
Então, temos um exercício que envolve cilindros, especificamente canudos de metal reutilizáveis. A empresa quer aumentar o diâmetro do canudo mantendo o mesmo comprimento, mas ajustando o raio para que o volume total seja de 15 cm³. Vamos precisar usar a fórmula do volume do cilindro e entender como o raio influencia esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. Ela é dada por:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura (ou comprimento) do cilindro,
- $ \pi $ é uma constante aproximadamente igual a 3.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já temos:
- O comprimento do canudo ($ h $) é de 20 cm.
- O diâmetro original é 0,5 cm, então o raio original ($ r $) é metade disso, ou seja, 0,25 cm.
- O volume desejado ($ V $) é de 15 cm³.
Passo 4
Vamos usar a fórmula do volume para encontrar o novo raio ($ r_{novo} $):
Aqui, substituímos $ V $ por 15 e $ h $ por 20, e usamos $ \pi = 3 $.
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ r_{novo} $:
Primeiro, multiplique os números:
Primeiro, multiplique os números:
Então:
Passo 6
Isolando $ (r_{novo})^2 $:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ r_{novo} $:
Passo 8
Sabemos que o raio original era de 0,25 cm. Então, o aumento no raio é:
Resposta
Aumentar o raio do canudo em 0,25 cm.