É possível obter o intervalo em que a função está em crescimento e/ou em decrescimento com a análise do sinal da derivada desta função. Sendo assim, analise as afirmativas abaixo sobre a função f(x)=x²+2x:
A derivada da função f(x) é S’ (x)=2x+2.
A função f(x) é crescente no intervalo (-∞,-1).
A função f(x) é decrescente no intervalo (-1,+∞)
É correto o que se afirma em
a)I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem a função $ f(x) = x^2 + 2x $ e precisamos analisar três afirmações sobre ela, usando a derivada para saber onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos precisar entender um pouquinho de derivadas e como elas nos ajudam a determinar esses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^2 + 2x $. A derivada basicamente nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
A fórmula para derivar $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Então, aplicando isso:
f(x) = x^2 + 2x
Então, a derivada da função é $ f’(x) = 2x + 2 $. Isso confirma a Afirmação I.

Passo 3

Agora, vamos usar a derivada para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada:
  • Se $ f’(x) > 0 $: A função está crescente nesse intervalo.
  • Se $ f’(x) < 0 $: A função está decrescente nesse intervalo.
Vamos resolver $ f’(x) = 2x + 2 $:
f'(x) > 0
Esse ponto, $ x = -1 $, é onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar os intervalos definidos por $ x = -1 $:
  1. Para $ x < -1 $:
    • Escolha, por exemplo, $ x = -2 $:
    x = -1
    • Como $ f’(-2) < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.
  2. Para $ x > -1 $:
    • Escolha, por exemplo, $ x = 0 $:
    x < -1
    • Como $ f’(0) > 0 $, a função está crescente nesse intervalo.

Passo 5

Vamos verificar as afirmações:
  • Afirmação I: Correta. Já vimos que $ f’(x) = 2x + 2 $.
  • Afirmação II: Diz que a função é crescente no intervalo $ (-\infty, -1) $. Mas vimos que nesse intervalo a derivada é negativa, ou seja, a função está decrescente. Errada.
  • Afirmação III: Diz que a função é decrescente no intervalo $ (-1, +\infty) $. Mas nesse intervalo a derivada é positiva, então a função está crescente. Errada.

Resposta

a) I, apenas.

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