Uma empresa produz um único produto com um custo fixo de e com um custo variável médio de por unidade. O produto é vendido por unidade. Toda a produção é vendida. Expresse o lucro em função de .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. A empresa tem custos fixos de R$ 1.200,00 e custos variáveis de R$ 20,00 por unidade produzida. Cada unidade é vendida por R$ 50,00. Queremos descobrir qual será o lucro da empresa em função da quantidade produzida e vendida, que vamos chamar de . Para isso, vamos precisar entender de custos fixos, custos variáveis, receita e como calcular o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a receita total da empresa. A receita é o dinheiro que a empresa ganha com as vendas. Para isso, multiplicamos o preço de venda por unidade pelo número de unidades vendidas:
Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total da produção. O custo total é a soma dos custos fixos e dos custos variáveis. Os custos fixos são aqueles que não mudam, independente da quantidade produzida, e aqui eles são de R$ 1.200,00. Já os custos variáveis dependem da quantidade produzida, sendo R$ 20,00 por unidade. Assim, calculamos:
Ou seja,

Passo 4

Finalmente, para encontrar o lucro da empresa, subtraímos o custo total da receita total:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:

Resposta

A função lucro em função de é:

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Considere a função . Simplifique:
Esboce o gráfico de:
Escreva a expressão como um único logaritmo.
Se existirem, determine e classifique os extremos da função