Se existirem, determine e classifique os extremos da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos determinar se ela possui extremos (como máximos ou mínimos) e classificá-los. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar e classificar os pontos críticos.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar os extremos de uma função de duas variáveis é encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde
e
.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Passo 4
Combinando as soluções de
e
, temos os possíveis pontos críticos:
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos. Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, esse ponto é um ponto de mínimo local.
- Para
:
Como
e
, esse ponto é um ponto de máximo local.
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os extremos da função são:
- Ponto de máximo local em
. - Ponto de mínimo local em
.
Os pontos
e
são pontos de sela.
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.
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