Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
integral0^4 integral0^y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla iterada, que basicamente significa que vamos integrar duas vezes, uma de cada vez. O enunciado dado é:
integral0^4 integral0^y dx , dy
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como são feitas integrações iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da integral dupla. A integral interna é , que significa que vamos integrar a função em relação a de até .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna:
integral0^y dx
Como estamos integrando integral0^y dx = x gr|0^y = y - 0 = y em relação a , a integral de é simplesmente . Então:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos o resultado na integral externa. Ficamos com:
integral0^4 y , dy
Essa é uma integral simples onde vamos integrar em relação a de até .

Passo 5

Vamos resolver a integral externa:
integral0^4 y , dy
A antiderivada de integral0^4 y , dy = 12y^2 gr|0^4 = 12(4)^2 - 12(0)^2 = 12(16) - 0 = 8 em relação a é . Então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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