Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla iterada, que basicamente significa que vamos integrar duas vezes, uma de cada vez. O enunciado dado é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como são feitas integrações iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da integral dupla. A integral interna é , que significa que vamos integrar a função em relação a de até .
Passo 3
Vamos resolver a integral interna:
Como estamos integrando em relação a , a integral de é simplesmente . Então:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, substituímos o resultado na integral externa. Ficamos com:
integral0^4 y , dy
Essa é uma integral simples onde vamos integrar em relação a de até .
Passo 5
Vamos resolver a integral externa:
integral0^4 y , dy
A antiderivada de integral0^4 y , dy = 12y^2 gr|0^4 = 12(4)^2 - 12(0)^2 = 12(16) - 0 = 8 em relação a é . Então: