varepsilonm cada caso, escreva a integral duplaR F(x, y) d A has duas ordeus: d x d y e d y d x;
F(x, y)=x^2 y
& R é a regiäo delimitada pos: y=0 ; x=2 ; & y=x;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de uma função sobre uma região limitada pelas curvas , e . Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas e definir os limites de integração adequadamente para resolver a integral nas duas ordens: e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é limitada por três curvas:
  1. (eixo x),
  2. (uma linha vertical),
  3. (uma linha que passa pela origem com inclinação de 1).
Vamos esboçar essa região para facilitar a definição dos limites de integração.

Passo 3

Ao esboçarmos a região , vemos que ela é um triângulo com vértices em , e . Agora, vamos definir os limites para cada ordem de integração.

Passo 4

Ordem integralx=0^2 integraly=0^x x^2 y , dy , dx :
  • Para um valor fixo de , varia de até .
  • varia de até .
Portanto, a integral nessa ordem fica:

Passo 5

Ordem integraly=0^2 integralx=y^2 x^2 y , dx , dy :
  • Para um valor fixo de , varia de até .
  • varia de até .
Assim, a integral nessa ordem fica:

Resposta

A integral dupla integralx=0^2 integraly=0^x x^2 y , dy , dx e integraly=0^2 integralx=y^2 x^2 y , dx , dy pode ser escrita nas duas ordens de integração da seguinte forma:

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