Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
integral0^1 integral0^y^2 cos (y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla iterada que você enviou:
integral0^1 integral0^y^2 cos (y^3) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou sobre regiões no plano. Vamos precisar entender integração iterada, onde a gente integra uma função em relação a uma variável de cada vez. No nosso caso, vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a parte que está dentro:
integral0^y^2 cos (y^3) , dx
Note que a função não depende de , o que simplifica as coisas. Quando você integra uma constante em relação a , é só multiplicar essa constante pela largura do intervalo de integração.

Passo 3

Então, vamos calcular a integral interna:
integral0^y^2 cos (y^3) , dx = cos (y^3) times ( y^2 - 0 ) = y^2 cos (y^3)
Agora, a integral dupla original se transforma em uma integral única em relação a integral0^1 y^2 cos (y^3) , dy :

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos deixar dudy = 3y^2 Rightarrow du = 3y^2 , dy Rightarrow y^2 , dy = du3 . Assim, a derivada de integral0^1 y^2 cos (y^3) , dy = integralu=0^u=1 cos(u) times du3 = 13 integral0^1 cos(u) , du em rela��ão a é:
Agora, substituímos na integral:

Passo 5

Agora, é só calcular a integral de 13 integral0^1 cos(u) , du = 13 [ sin(u) ]0^1 = 13 ( sin(1) - sin(0) ) em relação a 13 sin(1) :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados