En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de
no intervalo de 1 a 2 e, depois, encontrar um número
nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e do Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral definida de
de 1 a 2. A integral definida nos dá a área sob a curva da função entre esses limites.
Passo 3
Para integrar
, aplicamos as regras básicas de integração. A integral de
é
, e a integral de uma constante é a constante vezes
.
Então, temos:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Então, a integral de
de 1 a 2 é igual a 14.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um número
no intervalo
tal que:
No nosso caso,
,
, e a integral já calculamos como 14.
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
Então, precisamos encontrar
em
tal que
.
Passo 7
Sabemos que
. Então,
Calculando a raiz cúbica:
Resposta
A integral de
de 1 a 2 é igual a 14, e o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio é aproximadamente
.
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:
f)
f)