En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de 1 a 2 e, depois, encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e do Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de de 1 a 2. A integral definida nos dá a área sob a curva da função entre esses limites.

Passo 3

Para integrar , aplicamos as regras básicas de integração. A integral de é , e a integral de uma constante é a constante vezes .
Então, temos:
Onde é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Então, a integral de de 1 a 2 é igual a 14.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um número no intervalo tal que:
No nosso caso, , , e a integral já calculamos como 14.

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
Então, precisamos encontrar em tal que .

Passo 7

Sabemos que . Então,
Calculando a raiz cúbica:

Resposta

A integral de de 1 a 2 é igual a 14, e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio é aproximadamente .

Exercícios relacionados

En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Evalúe la integral definida:
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel :
f)