En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de e, depois, encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para Integrais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais e entender um pouquinho sobre o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de de a . A integral definida nos dá a área sob a curva dessa função nesse intervalo.
A integral de é .
A integral de é .
A integral de é .
Então, juntando tudo, a integral indefinida fica:
Agora, vamos calcular a integral definida de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:

Passo 3

Agora que temos a integral, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um número no intervalo tal que:
No nosso caso, , e a integral é . Vamos substituir na fórmula:
Para achar , basta dividir ambos os lados por 4:
Então, precisamos encontrar tal que . Sabemos que , então:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como deve estar no intervalo , ambas as soluções são válidas, mas geralmente escolhemos a que está estritamente dentro do intervalo, então .

Resposta

A integral de de a é igual a e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais nesse caso é .

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Hallar a en cada caso para que se cumpla:
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones: