En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para calcular a integral de
no intervalo de
e, depois, encontrar um número
nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para Integrais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais e entender um pouquinho sobre o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral definida de
de
a
. A integral definida nos dá a área sob a curva dessa função nesse intervalo.
A integral de
é
.
A integral de
é
.
A integral de
é
.
Então, juntando tudo, a integral indefinida fica:
Agora, vamos calcular a integral definida de
a
:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Então:
Passo 3
Agora que temos a integral, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um número
no intervalo
tal que:
No nosso caso,
,
e a integral é
. Vamos substituir na fórmula:
Para achar
, basta dividir ambos os lados por 4:
Então, precisamos encontrar
tal que
. Sabemos que
, então:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como
deve estar no intervalo
, ambas as soluções são válidas, mas geralmente escolhemos a que está estritamente dentro do intervalo, então
.
Resposta
A integral de
de
a
é igual a
e o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais nesse caso é
.
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Hallar a en cada caso para que se cumpla:
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones: