En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: integral-1^3(3 x^2-2 x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de e, depois, encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para Integrais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais e entender um pouquinho sobre o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de integral (3x^2 - 2x + 3) dx = x^3 - x^2 + 3x + C de [ x^3 - x^2 + 3x ]-1^3 = (3^3 - 3^2 + 3 times 3) - ( (-1)^3 - (-1)^2 + 3 times (-1) ) a 27 - 9 + 9 = 27 . A integral definida nos dá a área sob a curva dessa função nesse intervalo.
A integral de -1 - 1 - 3 = -5 é 27 - (-5) = 32 .
A integral de é .
A integral de é .
Então, juntando tudo, a integral indefinida fica:
Agora, vamos calcular a integral definida de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:

Passo 3

Agora que temos a integral, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um número integrala^b f(x) dx = f(c) times (b - a) no intervalo 32 = f(c) times (3 - (-1)) Rightarrow 32 = f(c) times 4 tal que:
f(c) = 324 = 8
No nosso caso, 3c^2 - 2c + 3 = 8 , 3c^2 - 2c - 5 = 0 e a integral é c = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 times 3 times (-5)2 times 3 = 2 pm raiz4 + 606 = 2 pm raiz646 = 2 pm 86 . Vamos substituir na fórmula:
c = 106 = 53 ou c = -66 = -1
Para achar , basta dividir ambos os lados por 4:
Então, precisamos encontrar tal que . Sabemos que , então:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como deve estar no intervalo , ambas as soluções são válidas, mas geralmente escolhemos a que está estritamente dentro do intervalo, então .

Resposta

A integral de de a é igual a e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais nesse caso é .

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