Hallar a en cada caso para que se cumpla:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de em três integrais diferentes para que cada uma delas seja igual a um valor especificado. Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente técnicas de integração básicas e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeira Integral:
Primeiro, vamos integrar a expressão . A integral de é e a de é . Então:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos integrando de 1 para , faz sentido que , então:

Passo 3

Segunda Integral:
Primeiro, vamos integrar . A integral de é , então:
Aplicando os limites de a 3:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por -2:
Elevando em ambos os lados:

Passo 4

Terceira Integral:
Vamos integrar . A integral de é :
Aplicando os limites de 0 a 3:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Cancelando o -1:
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de que satisfazem cada caso são:
  1. Para a primeira integral:
  2. Para a segunda integral:
  3. Para a terceira integral:

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