Hallar a en cada caso para que se cumpla:
integral1^a(3 x+2) d x=44 integrala^3 2x d x=2 L 3 integral0^3 e^a x d x=4 e^2-1a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de em três integrais diferentes para que cada uma delas seja igual a um valor especificado. Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente técnicas de integração básicas e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeira Integral:
integral1^a (3x + 2) , dx = 44
Primeiro, vamos integrar a expressão integral (3x + 2) , dx = 32x^2 + 2x + C . A integral de [ 32a^2 + 2a ] - [ 32(1)^2 + 2(1) ] = 44 é 32a^2 + 2a - ( 32 + 2 ) = 44 e a de 32a^2 + 2a - 72 = 44 é 3a^2 + 4a - 7 = 88 . Então:
3a^2 + 4a - 95 = 0
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a a = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 3 cdot (-95)2 cdot 3 :
a = -4 pm raiz16 + 11406 = -4 pm raiz11566 = -4 pm 346
Simplificando:
a = 306 = 5 ou a = -386 approx -6,33
a = 5
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos integrando de 1 para , faz sentido que , então:

Passo 3

Segunda Integral:
integrala^3 2x , dx = 2 ln 3
Primeiro, vamos integrar integral 2x , dx = 2 ln |x| + C . A integral de 2 ln 3 - 2 ln a = 2 ln 3 é -2 ln a = 0 , então:
ln a = 0
Aplicando os limites de a = e^0 = 1 a 3:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por -2:
Elevando em ambos os lados:

Passo 4

Terceira Integral:
integral0^3 e^a x , dx = 4 e^2 - 1a
Vamos integrar integral e^a x , dx = 1a e^a x + C . A integral de 1a e^3a - 1a e^0 = 4 e^2 - 1a é e^3a - 1a = 4 e^2 - 1a :
e^3a - 1 = 4 e^2 - 1
Aplicando os limites de 0 a 3:
e^3a = 4 e^2
Simplificando:
e^3a - 2 = 4
Multiplicando ambos os lados por 3a - 2 = ln 4 :
3a = ln 4 + 2 implies a = ln 4 + 23
Cancelando o -1:
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de que satisfazem cada caso são:
  1. Para a primeira integral:
  2. Para a segunda integral:
  3. Para a terceira integral:

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