Hallar a en cada caso para que se cumpla:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
em três integrais diferentes para que cada uma delas seja igual a um valor especificado. Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente técnicas de integração básicas e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeira Integral:
Primeiro, vamos integrar a expressão
. A integral de
é
e a de
é
. Então:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos integrando de 1 para
, faz sentido que
, então:
Passo 3
Segunda Integral:
Primeiro, vamos integrar
. A integral de
é
, então:
Aplicando os limites de
a 3:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por -2:
Elevando
em ambos os lados:
Passo 4
Terceira Integral:
Vamos integrar
. A integral de
é
:
Aplicando os limites de 0 a 3:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Cancelando o -1:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores de
que satisfazem cada caso são:
- Para a primeira integral:
- Para a segunda integral:
- Para a terceira integral:
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