En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y * y' = x^2 con y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . Esse tipo de problema geralmente envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Sabemos que é a derivada de em relação a , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação. Para isso, dividimos ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça a igualdade. Então, integrando:

Passo 5

Agora, vamos calcular as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo e na equação:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Seja f: R -> R contínua em x0 = 0 e satisfaz a condição
f(x+y) = f(x) + f(y), para todo x em R
Mostre que f é contínua em R.
Encuentra en cada caso la solución
d y/d x = 3 y
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' - y/(2 x) = (x^2/2) y^(-1) con y(1) = 0
Seja f: R -> R tal que
|f(x) - f(y)| <= |x - y|^2
para todo x, y em R. Prove que f é constante.