En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
com a condição inicial
. Esse tipo de problema geralmente envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Sabemos que
é a derivada de
em relação a
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a igualdade. Então, integrando:
Passo 5
Agora, vamos calcular as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Seja
contínua em
e satisfaz a condição
Mostre que
é contínua em
.
Encuentra en cada caso la solución
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Seja
tal que
para todo
. Prove que
é constante.