Seja f: R -> R tal que
|f(x) - f(y)| <= |x - y|^2
para todo x, y em R. Prove que f é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que satisfaz a condição para todos os reais. Nosso objetivo aqui é provar que essa função é constante, ou seja, ela não muda de valor independente de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a condição nos diz. Basicamente, isso está nos dizendo que a diferença nos valores de entre dois pontos e é limitada pelo quadrado da distância entre e . Isso lembra um pouco a definição de funções que têm derivada zero, mas vamos detalhar isso.

Passo 3

Vamos focar na definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Se conseguirmos mostrar que essa derivada é zero para todo , então, por consequência, a função será constante.

Passo 4

Usando a condição dada, temos:
Dividindo ambos os lados por (com ), obtemos:
Agora, ao tomar o limite quando tende a zero:
Isso implica que:
Ou seja, para todo .

Passo 5

Sabemos que se uma função derivável tem derivada zero em todos os pontos do seu domínio, então essa função é constante. Isso acontece porque, sem variação na derivada, a função não sobe nem desce.

Resposta

Portanto, concluímos que é constante.

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