Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que satisfaz a condição para todos os reais. Nosso objetivo aqui é provar que essa função é constante, ou seja, ela não muda de valor independente de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a condição nos diz. Basicamente, isso está nos dizendo que a diferença nos valores de entre dois pontos e é limitada pelo quadrado da distância entre e . Isso lembra um pouco a definição de funções que têm derivada zero, mas vamos detalhar isso.
Passo 3
Vamos focar na definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Se conseguirmos mostrar que essa derivada é zero para todo , então, por consequência, a função será constante.
Passo 4
Usando a condição dada, temos:
Dividindo ambos os lados por (com ), obtemos:
Agora, ao tomar o limite quando tende a zero:
Isso implica que:
Ou seja, para todo .
Passo 5
Sabemos que se uma função derivável tem derivada zero em todos os pontos do seu domínio, então essa função é constante. Isso acontece porque, sem variação na derivada, a função não sobe nem desce.