Encuentra en cada caso la solución
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a solução da equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. A equação é:
Para separar, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça essa igualdade.
A integral de
é
e a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para isolar
, vamos exponentiar ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a remover o logaritmo natural.
Sabemos que
, então:
Como
é uma constante positiva, podemos representá-la simplesmente por
(onde
pode ser qualquer número real positivo ou negativo). Assim, a equação fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Sejam
constantes reais tais que
Prove que a equação
tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .
Seja
contínua em
e satisfaz a condição
Mostre que
é contínua em
.
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con