Encuentra en cada caso la solución
d y/d x = 3 y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a solução da equação diferencial . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . A equação é:
Para separar, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça essa igualdade.
A integral de é e a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar , vamos exponentiar ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a remover o logaritmo natural.
Sabemos que , então:
Como é uma constante positiva, podemos representá-la simplesmente por (onde pode ser qualquer número real positivo ou negativo). Assim, a equação fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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