Encuentra en cada caso la solución
d y/d x = 3 y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a solução da equação diferencial . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . A equação é:
Para separar, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça essa igualdade.
A integral de é e a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar , vamos exponentiar ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a remover o logaritmo natural.
Sabemos que , então:
Como é uma constante positiva, podemos representá-la simplesmente por (onde pode ser qualquer número real positivo ou negativo). Assim, a equação fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + 3y * sen(x) = 0
Sejam c0, c1, ..., cn constantes reais tais que
c0 + c1/2 + ... + c(n-1)/n + cn/(n+1) = 0
Prove que a equação c0 + c1 x + c2 x^2 + ... + cn x^n = 0 tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .
Seja f: R -> R contínua em x0 = 0 e satisfaz a condição
f(x+y) = f(x) + f(y), para todo x em R
Mostre que f é contínua em R.
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y * y' = x^2 con y(0) = 1