Seja
contínua em
e satisfaz a condição
Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
que é contínua em
e satisfaz a condição
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que essa função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
. Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções aditivas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. No nosso caso, sabemos que
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição dada:
. Essa é a característica de uma função aditiva. Funções aditivas têm propriedades especiais, e uma delas é que se a função for contínua em pelo menos um ponto, ela é contínua em todos os pontos. Vamos explorar isso.
Passo 4
Sabemos que
é contínua em
. Vamos provar que
é contínua em qualquer ponto
. Para isso, consideremos um ponto
fixo e queremos mostrar que
é contínua em
.
Passo 5
Vamos usar a propriedade da função aditiva. Seja
, onde
é uma pequena variação em relação a
. Então, temos:
Queremos que
se aproxime de
quando
se aproxima de
. Isso significa que
deve se aproximar de
quando
se aproxima de
.
Passo 6
Como
é contínua em
, sabemos que:
Mas, se substituirmos
na condição
, temos:
Isso implica que
.
Passo 7
Então, temos:
Portanto,
se aproxima de
quando
se aproxima de
, o que mostra que
é contínua em
.
Passo 8
Como escolhemos um ponto
qualquer em
e mostramos que
é contínua nele, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
A função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
.
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