Seja f: R -> R contínua em x0 = 0 e satisfaz a condição
f(x+y) = f(x) + f(y), para todo x em R
Mostre que f é contínua em R.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que é contínua em e satisfaz a condição para todo . Nosso objetivo é mostrar que essa função é contínua em todo o conjunto dos números reais . Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções aditivas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se, para todo , existe um tal que sempre que , então . No nosso caso, sabemos que é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada: . Essa é a característica de uma função aditiva. Funções aditivas têm propriedades especiais, e uma delas é que se a função for contínua em pelo menos um ponto, ela é contínua em todos os pontos. Vamos explorar isso.

Passo 4

Sabemos que é contínua em . Vamos provar que é contínua em qualquer ponto . Para isso, consideremos um ponto fixo e queremos mostrar que é contínua em .

Passo 5

Vamos usar a propriedade da função aditiva. Seja , onde é uma pequena variação em relação a . Então, temos:
Queremos que se aproxime de quando se aproxima de . Isso significa que deve se aproximar de quando se aproxima de .

Passo 6

Como é contínua em , sabemos que:
Mas, se substituirmos na condição , temos:
Isso implica que .

Passo 7

Então, temos:
Portanto, se aproxima de quando se aproxima de , o que mostra que é contínua em .

Passo 8

Como escolhemos um ponto qualquer em e mostramos que é contínua nele, concluímos que é contínua em todo .

Resposta

A função é contínua em todo o conjunto dos números reais .

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