Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais não lineares, e vamos precisar transformar a equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Isso deixa a equação em uma forma onde podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
:
Aqui, reconhecemos que o lado esquerdo
é a derivada de
. Isso nos ajuda a transformar a equação.
Passo 4
Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na equação:
Passo 5
A equação agora é linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando fator integrante.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Substituindo
na expressão:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: