Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' - y/(2 x) = (x^2/2) y^(-1) con y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais não lineares, e vamos precisar transformar a equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar :
Isso deixa a equação em uma forma onde podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por :
Aqui, reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de . Isso nos ajuda a transformar a equação.

Passo 4

Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na equação:

Passo 5

A equação agora é linear em termos de :
Vamos resolver essa equação usando fator integrante.

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Multiplicando por :

Passo 8

Lembrando que , temos:
Agora, aplicamos a condição inicial :
Substituindo na expressão:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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