(ENADE 2011) - Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da função
A(x) = x^3/3 - 11 x^2 + 117 x + 124
em que 0 <= x <= 24 é o tempo, em meses, e a arrecadação A(x) é dada em milhões de reais. Encontre os pontos críticos da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções matemáticas e análise de negócios, especificamente sobre como calcular a arrecadação mensal de uma empresa ao longo de 24 meses usando uma função. O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função, que são os pontos onde a arrecadação pode estar no seu máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Em cálculo, pontos críticos de uma função são aqueles valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque eles podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na função.

Passo 3

Nossa função de arrecadação é:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar essa função em relação a e depois resolver onde essa derivada é igual a zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Lembre-se que a derivada de é . Então:
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os valores de que tornam essa derivada igual a zero:

Passo 6

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, para nossa equação , os coeficientes são:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 8

Então, temos duas soluções:

Resposta

Os pontos críticos da função são meses e meses.

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