Se A é uma matriz quadrada de ordem n, tal que A^n=I para algum inteiro n. Mostre que A é inversível. Qual a inversa de A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada de ordem que, elevada à potência , resulta na matriz identidade . O objetivo é mostrar que essa matriz é inversível e descobrir qual é a sua inversa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. A matriz é chamada de inversa de e é denotada por .

Passo 3

Sabemos que . Isso quer dizer que, se multiplicarmos por ela mesma vezes, o resultado é a matriz identidade. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para usando essa informação.

Passo 4

Vamos manipular a equação A times A^n-1 = I para isolar . Primeiro, podemos escrever como :

Passo 5

Comparando isso com a definição de matriz inversa A^-1 = A^n-1 , vemos que está multiplicando para resultar na identidade. Isso significa que:

Passo 6

Portanto, mostramos que é inversível porque existe uma matriz que, multiplicada por , dá a matriz identidade. E essa matriz é justamente a inversa de .

Resposta

A matriz é inversível e sua inversa é .

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