Se
é uma matriz quadrada de ordem
, tal que
para algum inteiro
. Mostre que
é inversível. Qual a inversa de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
que, elevada à potência
, resulta na matriz identidade
. O objetivo é mostrar que essa matriz
é inversível e descobrir qual é a sua inversa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. A matriz
é chamada de inversa de
e é denotada por
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso quer dizer que, se multiplicarmos
por ela mesma
vezes, o resultado é a matriz identidade. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
usando essa informação.
Passo 4
Vamos manipular a equação
para isolar
. Primeiro, podemos escrever
como
:
Passo 5
Comparando isso com a definição de matriz inversa
, vemos que
está multiplicando
para resultar na identidade. Isso significa que:
Passo 6
Portanto, mostramos que
é inversível porque existe uma matriz
que, multiplicada por
, dá a matriz identidade. E essa matriz
é justamente a inversa de
.
Resposta
A matriz
é inversível e sua inversa é
.
Exercícios relacionados
Escreva as matrizes
e
, definidas do seguinte modo:
Se
e
são matrizes de ordem
e
e
são escalares, mostre que:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
(ENADE 2014) As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações com matrizes. Uma rotação de
graus de um ponto
, no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz
dada por
pela matriz
, sendo
a primeira linha e
a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do
após a rotação. Nessa situação, qual é a nova posição do vetor
após uma rotação de
no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Justifique sua resposta!
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que: