Se
é uma matriz quadrada de ordem
, tal que
para algum inteiro
. Mostre que
é inversível. Qual a inversa de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
que, elevada à potência
, resulta na matriz identidade
. O objetivo é mostrar que essa matriz
é inversível e descobrir qual é a sua inversa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. A matriz
é chamada de inversa de
e é denotada por
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso quer dizer que, se multiplicarmos
por ela mesma
vezes, o resultado é a matriz identidade. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
usando essa informação.
Passo 4
Vamos manipular a equação
para isolar
. Primeiro, podemos escrever
como
:
Passo 5
Comparando isso com a definição de matriz inversa
, vemos que
está multiplicando
para resultar na identidade. Isso significa que:
Passo 6
Portanto, mostramos que
é inversível porque existe uma matriz
que, multiplicada por
, dá a matriz identidade. E essa matriz
é justamente a inversa de
.
Resposta
A matriz
é inversível e sua inversa é
.