Se é uma matriz quadrada de ordem , tal que para algum inteiro . Mostre que é inversível. Qual a inversa de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada de ordem que, elevada à potência , resulta na matriz identidade . O objetivo é mostrar que essa matriz é inversível e descobrir qual é a sua inversa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. A matriz é chamada de inversa de e é denotada por .

Passo 3

Sabemos que . Isso quer dizer que, se multiplicarmos por ela mesma vezes, o resultado é a matriz identidade. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para usando essa informação.

Passo 4

Vamos manipular a equação para isolar . Primeiro, podemos escrever como :

Passo 5

Comparando isso com a definição de matriz inversa , vemos que está multiplicando para resultar na identidade. Isso significa que:

Passo 6

Portanto, mostramos que é inversível porque existe uma matriz que, multiplicada por , dá a matriz identidade. E essa matriz é justamente a inversa de .

Resposta

A matriz é inversível e sua inversa é .

Exercícios relacionados

Escreva as matrizes e , definidas do seguinte modo:
Se e são matrizes de ordem e e são escalares, mostre que:
a)
b)
c)
d)
(ENADE 2014) As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações com matrizes. Uma rotação de graus de um ponto , no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz dada por pela matriz , sendo a primeira linha e a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do após a rotação. Nessa situação, qual é a nova posição do vetor após uma rotação de no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Justifique sua resposta!
a)
b)
c)
d)
e)
Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que: