(ENADE 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M. Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema (pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (pc) e que ambos pa e pc tem valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, pa=pc=n. Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as informações que surgem
I. A matriz M é singular (ou seja det M=0 ).
II. O sitema de equações lineares modelado admite uma única solução.
III. É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado. IV. O valor de pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de M que tenham determinantes não nulos.
É correto apenas o que se afirma em
a) I.
b) II.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.

Passo 1

Vamos lá! Você nos apresentou um problema que envolve sistemas de equações lineares e matrizes. Basicamente, o engenheiro modelou uma situação que resultou em um sistema com equações e incógnitas. Ele analisou as matrizes envolvidas e descobriu algumas propriedades importantes sobre elas. Nosso objetivo é avaliar quais das afirmações I a IV estão corretas com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender alguns conceitos-chave que vamos precisar:
  • Matriz dos coeficientes ( ): É a matriz que contém apenas os coeficientes das incógnitas no sistema de equações.
  • Matriz ampliada: É a matriz que inclui, além dos coeficientes, a coluna dos termos independentes das equações.
  • Posto de uma matriz: É o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz.
  • Matriz singular: Uma matriz é singular se o seu determinante é zero ( ); isso significa que ela não tem inversa.
Sabemos que:
  • , onde é o posto da matriz ampliada e é o posto da matriz dos coeficientes.
  • Quando o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes ( ) e ambos são iguais ao número de incógnitas ( ), o sistema tem uma única solução.

Passo 3

Vamos analisar cada afirmação:
I. A matriz é singular (ou seja, ).
Se , isso significa que a matriz tem posto completo. Uma matriz quadrada com posto completo não é singular. Portanto, , o que torna a afirmação I incorreta.
II. O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução.
Como , o sistema possui uma única solução. Isso está de acordo com o teorema de Rouché-Frobenius, que garante a existência de uma única solução nesse caso. Portanto, a afirmação II é correta.
III. É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado.
Isso não é verdade. Já que o sistema tem uma única solução, é perfeitamente possível resolvê-lo usando métodos adequados. Portanto, a afirmação III é incorreta.
IV. O valor de é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de que tenham determinantes não nulos.
Exatamente! O posto de uma matriz é determinado pelo maior tamanho de uma submatriz quadrada que possui determinante diferente de zero. Assim, a afirmação IV é correta.

Resposta

Apenas as afirmações II e IV estão corretas. Portanto, a resposta é a alternativa d) II e IV.

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