Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar o determinante de uma matriz A = 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1 e também a sua inversa . A matriz que a gente tem aqui é uma matriz quadrada de ordem 4:
Para resolver isso, vamos usar métodos de expansão de determinantes e também a técnica de matriz adjunta para achar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante de . Para matrizes 4x4, uma maneira prática é expandir por cofatores, geralmente escolhendo a linha ou coluna com mais zeros para facilitar os cálculos. Olhando para a nossa matriz, a última coluna tem um zero, então pode ser uma boa escolha.
Passo 3
Vamos expandir o determinante pela última coluna. A fórmula para a expansão por cofatores em uma coluna é:
det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j aij det(Aij)
onde é o elemento da matriz na linha e coluna , e é a submatriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .
Voltando à expressão original para det(A) = 2 cdot (-1) + 21 = -2 + 21 = 19 :
Então, o determinante de é 19.
Passo 10
Agora, para encontrar A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Passo 11
Primeiro, precisamos calcular a matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j det(Aij) . Cada elemento da matriz de cofatores é dado por:
onde é a submatriz de sem a linha e a coluna .
Passo 12
Vamos calcular cada determinante dos menores adj(A) = 1 & 3 & -1 & -1 5 & 7 & -2 & -2 -1 & -1 & 1 & 2 -7 & -9 & 3 & 4 para todos os e , construir a matriz de cofatores e depois transpor essa matriz para obter a adjunta.
Devido ao espaço, vou apenas apresentar a matriz adjunta calculada: