Encontre e em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar o determinante de uma matriz e também a sua inversa . A matriz que a gente tem aqui é uma matriz quadrada de ordem 4:
Para resolver isso, vamos usar métodos de expansão de determinantes e também a técnica de matriz adjunta para achar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante de . Para matrizes 4x4, uma maneira prática é expandir por cofatores, geralmente escolhendo a linha ou coluna com mais zeros para facilitar os cálculos. Olhando para a nossa matriz, a última coluna tem um zero, então pode ser uma boa escolha.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela última coluna. A fórmula para a expansão por cofatores em uma coluna é:
onde é o elemento da matriz na linha e coluna , e é a submatriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 4

Aplicando isso à última coluna ( ) da nossa matriz :
Note que os termos com zeros vão desaparecer, então sobra:

Passo 5

Calculando os sinais:
Então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as submatrizes e :

Passo 7

Vamos calcular usando a regra de Sarrus ou expansão de cofatores para matrizes 3x3. Vamos usar an expansion:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Simplificando:

Passo 9

Voltando à expressão original para :
Então, o determinante de é 19.

Passo 10

Agora, para encontrar , usamos a fórmula:
onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 11

Primeiro, precisamos calcular a matriz dos cofatores de . Cada elemento da matriz de cofatores é dado por:
onde é a submatriz de sem a linha e a coluna .

Passo 12

Vamos calcular cada determinante dos menores para todos os e , construir a matriz de cofatores e depois transpor essa matriz para obter a adjunta.
Devido ao espaço, vou apenas apresentar a matriz adjunta calculada:

Passo 13

Finalmente, aplicamos a fórmula para :

Resposta

Exercícios relacionados

Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Determinar (núcleo de ) e uma base para esse subespaço.
Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Determinar (imagem de ) e uma base para esse subespaço.
Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da matriz