Se
é uma transformação linear tal que
e
Observem que os vetores
formam uma base (ortogonal) de
. Determinar
(imagem de
) e uma base para esse subespaço.
Observem que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
. Queremos descobrir qual é a imagem dessa transformação, ou seja, todos os possíveis resultados que
pode gerar a partir de vetores em
. Para fazer isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares e bases.
Passo 2
Primeiro, sabemos como
age em três vetores que formam uma base de
:
Como
é linear, a imagem de
é gerada por todos os vetores
onde
está em
. Mas como temos uma base, basta olhar para as imagens desses vetores para entender toda a imagem de
.
Passo 3
Vamos juntar os vetores resultantes:
Agora, precisamos ver quais desses vetores são linearmente independentes, ou seja, se algum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 4
Observando os vetores:
- Note que
é metade de , ou seja, . Isso significa que não adiciona nada de novo à imagem. - Já
não pode ser obtido a partir de , porque não há nenhum múltiplo de que resulte em .
Passo 5
Portanto, os vetores
e
são linearmente independentes e juntos geram toda a imagem de
. Isso significa que a imagem de
é um subespaço de
formado por todas as combinações lineares desses dois vetores.
Resposta
A imagem de
é o conjunto de todos os vetores da forma
com
. Uma base para esse subespaço é
.
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e
em que
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