Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Determinar (imagem de ) e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . Queremos descobrir qual é a imagem dessa transformação, ou seja, todos os possíveis resultados que pode gerar a partir de vetores em . Para fazer isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares e bases.

Passo 2

Primeiro, sabemos como age em três vetores que formam uma base de :
Como é linear, a imagem de é gerada por todos os vetores onde está em . Mas como temos uma base, basta olhar para as imagens desses vetores para entender toda a imagem de .

Passo 3

Vamos juntar os vetores resultantes:
Agora, precisamos ver quais desses vetores são linearmente independentes, ou seja, se algum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 4

Observando os vetores:
  • Note que é metade de , ou seja, . Isso significa que não adiciona nada de novo à imagem.
  • não pode ser obtido a partir de , porque não há nenhum múltiplo de que resulte em .

Passo 5

Portanto, os vetores e são linearmente independentes e juntos geram toda a imagem de . Isso significa que a imagem de é um subespaço de formado por todas as combinações lineares desses dois vetores.

Resposta

A imagem de é o conjunto de todos os vetores da forma com . Uma base para esse subespaço é .

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