Sabendo que a função y = y(t), t > 0, satisfaz a equaçāo diferencial dy/dt + 1/(1+t) * y = 1/(1+t) e que y(0) = 3, calcule y(1).

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem: com a condição inicial . Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear: , onde e . Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 3

O fator integrante é calculado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante e :
Isso facilita a integração.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 9

Substituímos na expressão de :

Passo 10

Finalmente, calculamos :

Resposta

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