Sabendo que a função
, satisfaz a equaçāo diferencial
e que
, calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
, onde
e
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 3
O fator integrante
é calculado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante e
:
Isso facilita a integração.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Passo 10
Finalmente, calculamos
: