Sabendo que a função
, satisfaz a equaçāo diferencial
e que
, calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
, onde
e
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 3
O fator integrante
é calculado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante e
:
Isso facilita a integração.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Passo 10
Finalmente, calculamos
:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a
derivada de
.
O peso de uma astronauta,
(em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra,
(em quilômetros), por meio da equação
em que
é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de
, determine a taxa de variação de seu peso (
) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.
Encontre
por derivação implícita.
(ENADE) Considere a função
definida por
, para cada
. A área da região limitada pelo gráfico da função
, o eixo
e as retas
e
é igual a:
(a) unidades de área.
(b) unidades de área.
© unidades de área.
(d) unidades de área.
(e) unidades de área.
(a)
(b)
©
(d)
(e)