(ENADE) Considere g: R R uma função com derivada d gd t contínua e f a função definida por f(x)=integral0^x d gd t(t) d t para todo x in R.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b in R, a.
II A função f é derivável e sua derivada é a função g.
III A função diferença f-g é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, temos uma função f(x) = integral0^x dgdt(t) , dt que é diferenciável com derivada contínua . A função é definida por
para todo . Nosso objetivo é avaliar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função f(x) = integrala^x h(t) , dt representa. Ela é a integral da derivada de f'(x) = dgdt(x) de 0 até . De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos
então a derivada de é . Aplicando isso aqui, temos:
Então, é diferenciável e sua derivada é .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação I: f(x) = integral0^x dgdt(t) , dt = g(x) - g(0) é integrável em todo intervalo f(x) - g(x) = -g(0) .
Como é contínua (dado que é a derivada contínua de ), a integral de uma função contínua em um intervalo fechado é sempre possível. Portanto, é integrável em qualquer intervalo .
Afirmação II: é derivável e sua derivada é a função .
Já vimos que é diferenciável e que . A afirmação diz que , o que seria verdade se . Porém, isso não é necessariamente verdade a menos que satisfaça a equação diferencial , o que não foi garantido. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.
Afirmação III: A função diferença é uma função constante.
Sabemos que:
Portanto,
Que é uma constante. Logo, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

© I e III, apenas.

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