(ENADE) Considere uma função com derivada contínua e a função definida por para todo .
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, temos uma função que é diferenciável com derivada contínua . A função é definida por
para todo . Nosso objetivo é avaliar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela é a integral da derivada de de 0 até . De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos
então a derivada de é . Aplicando isso aqui, temos:
Então, é diferenciável e sua derivada é .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação I: é integrável em todo intervalo .
Como é contínua (dado que é a derivada contínua de ), a integral de uma função contínua em um intervalo fechado é sempre possível. Portanto, é integrável em qualquer intervalo .
Afirmação II: é derivável e sua derivada é a função .
Já vimos que é diferenciável e que . A afirmação diz que , o que seria verdade se . Porém, isso não é necessariamente verdade a menos que satisfaça a equação diferencial , o que não foi garantido. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.
Afirmação III: A função diferença é uma função constante.
Sabemos que:
Portanto,
Que é uma constante. Logo, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

© I e III, apenas.

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