(ENADE) Considere
uma função com derivada
contínua e
a função definida por
para todo
.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
é integrável em todo intervalo
.
II A função
é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença
é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, temos uma função
que é diferenciável com derivada contínua
. A função
é definida por
para todo
. Nosso objetivo é avaliar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Ela é a integral da derivada de
de 0 até
. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos
então a derivada de
é
. Aplicando isso aqui, temos:
Então,
é diferenciável e sua derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação I:
é integrável em todo intervalo
.
Como
é contínua (dado que é a derivada contínua de
), a integral de uma função contínua em um intervalo fechado é sempre possível. Portanto,
é integrável em qualquer intervalo
.
Afirmação II:
é derivável e sua derivada é a função
.
Já vimos que
é diferenciável e que
. A afirmação diz que
, o que seria verdade se
. Porém, isso não é necessariamente verdade a menos que
satisfaça a equação diferencial
, o que não foi garantido. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.
Afirmação III: A função diferença
é uma função constante.
Sabemos que:
Portanto,
Que é uma constante. Logo, a afirmação III é verdadeira.
Resposta
© I e III, apenas.
Exercícios relacionados
Seja
definida por
. Verifique se
existe.
Seja
uma função contínua e defina uma nova função
por
. Calcule o valor de
, sabendo que
.
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