Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
Passo 1
No enunciado, a gente tem uma função que mostra a taxa de produção de gás natural de um poço ao longo do tempo:
milhares de metros cúbicos por ano, onde
é o tempo desde o início da produção. Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais, para descobrir a quantidade total de gás que esse poço vai produzir.
Passo 2
Para encontrar a quantidade total de gás que será extraída, precisamos somar todas as taxas de produção ao longo do tempo. Isso significa que vamos calcular a integral da função
desde o início da produção (
) até o infinito.
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Como a produção diminui exponencialmente, vamos considerar o limite até infinito para garantir que estamos somando todas as possíveis produções.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Passo 5
Podemos fatorar a constante 700 para facilitar a resolução:
Passo 6
Sabemos que a integral de
de 0 a infinito é
. Aqui,
, então:
Resposta
A quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é de 3500 milhares de metros cúbicos.
Exercícios relacionados
(ENADE) Considere
uma função com derivada
contínua e
a função definida por
para todo
.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Seja
definida por
. Verifique se
existe.
O peso de uma astronauta,
(em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra,
(em quilômetros), por meio da equação
em que
é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de
, determine a taxa de variação de seu peso (
) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.