Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por f(t) = 700 * e^(-1/5 * t) milhares de metros cúbicos, onde t é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.

Passo 1

No enunciado, a gente tem uma função que mostra a taxa de produção de gás natural de um poço ao longo do tempo: milhares de metros cúbicos por ano, onde é o tempo desde o início da produção. Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais, para descobrir a quantidade total de gás que esse poço vai produzir.

Passo 2

Para encontrar a quantidade total de gás que será extraída, precisamos somar todas as taxas de produção ao longo do tempo. Isso significa que vamos calcular a integral da função desde o início da produção ( ) até o infinito.

Passo 3

A função que vamos integrar é . Como a produção diminui exponencialmente, vamos considerar o limite até infinito para garantir que estamos somando todas as possíveis produções.

Passo 4

Vamos montar a integral:

Passo 5

Podemos fatorar a constante 700 para facilitar a resolução:

Passo 6

Sabemos que a integral de de 0 a infinito é . Aqui, , então:

Resposta

A quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é de 3500 milhares de metros cúbicos.

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