Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
Passo 1
No enunciado, a gente tem uma função que mostra a taxa de produção de gás natural de um poço ao longo do tempo:
milhares de metros cúbicos por ano, onde
é o tempo desde o início da produção. Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais, para descobrir a quantidade total de gás que esse poço vai produzir.
Passo 2
Para encontrar a quantidade total de gás que será extraída, precisamos somar todas as taxas de produção ao longo do tempo. Isso significa que vamos calcular a integral da função
desde o início da produção (
) até o infinito.
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Como a produção diminui exponencialmente, vamos considerar o limite até infinito para garantir que estamos somando todas as possíveis produções.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Passo 5
Podemos fatorar a constante 700 para facilitar a resolução:
Passo 6
Sabemos que a integral de
de 0 a infinito é
. Aqui,
, então:
Resposta
A quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é de 3500 milhares de metros cúbicos.