Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por milhares de metros cúbicos, onde é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.

Passo 1

No enunciado, a gente tem uma função que mostra a taxa de produção de gás natural de um poço ao longo do tempo: milhares de metros cúbicos por ano, onde é o tempo desde o início da produção. Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais, para descobrir a quantidade total de gás que esse poço vai produzir.

Passo 2

Para encontrar a quantidade total de gás que será extraída, precisamos somar todas as taxas de produção ao longo do tempo. Isso significa que vamos calcular a integral da função desde o início da produção ( ) até o infinito.

Passo 3

A função que vamos integrar é . Como a produção diminui exponencialmente, vamos considerar o limite até infinito para garantir que estamos somando todas as possíveis produções.

Passo 4

Vamos montar a integral:

Passo 5

Podemos fatorar a constante 700 para facilitar a resolução:

Passo 6

Sabemos que a integral de de 0 a infinito é . Aqui, , então:

Resposta

A quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é de 3500 milhares de metros cúbicos.

Exercícios relacionados

(ENADE) Considere uma função com derivada contínua e a função definida por para todo .
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Seja definida por . Verifique se existe.
O peso de uma astronauta, (em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra, (em quilômetros), por meio da equação
em que é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de , determine a taxa de variação de seu peso ( ) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.