Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites, especialmente aqueles que envolvem funções exponenciais e indeterminações. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com limites que têm a forma de uma função elevada a outra função, além de usar propriedades de logaritmos e a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de
. Sabemos que
, então
se aproxima de 1. Por outro lado,
, e como
se aproxima de 0,
tende ao infinito. Portanto, temos uma forma
, que é uma indeterminação.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos usar o logaritmo. Seja
. Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.
Passo 4
Vamos reescrever
como
:
Observamos que, quando
se aproxima de
,
tende a 0 e
tende a
. Assim, temos uma forma
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Agora, substituímos
por
:
Então,
, o que significa que
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
(ENADE) Considere
uma função com derivada
contínua e
a função definida por
para todo
.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
O peso de uma astronauta,
(em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra,
(em quilômetros), por meio da equação
em que
é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de
, determine a taxa de variação de seu peso (
) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.
Encontre a
derivada de
.