lim x pi2(1+cos x)^3 sec x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites, especialmente aqueles que envolvem funções exponenciais e indeterminações. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com limites que têm a forma de uma função elevada a outra função, além de usar propriedades de logaritmos e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de . Sabemos que , então se aproxima de 1. Por outro lado, , e como se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, temos uma forma , que é uma indeterminação.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos usar o logaritmo. Seja ln L = lim x pi2 3 sec x cdot ln(1 + cos x) . Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.

Passo 4

Vamos reescrever ln L = lim x pi2 3 ln(1 + cos x)cos x como :
Observamos que, quando se aproxima de , tende a 0 e tende a . Assim, temos uma forma , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx [3 ln(1 + cos x)] = 3 cdot -sin x1 + cos x :
Derivada do numerador:
ddx [cos x] = -sin x
Derivada do denominador:
ln L = lim x pi2 3 cdot -sin x1 + cos x-sin x = lim x pi2 3 sin x(1 + cos x) sin x = lim x pi2 31 + cos x
Então, o limite fica:

Passo 6

Agora, substituímos ln L = 31 + cos(pi2) = 31 + 0 = 3 por :
Então, , o que significa que .

Resposta

O limite é .

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