Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites, especialmente aqueles que envolvem funções exponenciais e indeterminações. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com limites que têm a forma de uma função elevada a outra função, além de usar propriedades de logaritmos e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de . Sabemos que , então se aproxima de 1. Por outro lado, , e como se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, temos uma forma , que é uma indeterminação.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos usar o logaritmo. Seja . Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.

Passo 4

Vamos reescrever como :
Observamos que, quando se aproxima de , tende a 0 e tende a . Assim, temos uma forma , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 6

Agora, substituímos por :
Então, , o que significa que .

Resposta

O limite é .

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(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
O peso de uma astronauta, (em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra, (em quilômetros), por meio da equação
em que é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de , determine a taxa de variação de seu peso ( ) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.
Encontre a derivada de .