Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites, especialmente aqueles que envolvem funções exponenciais e indeterminações. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com limites que têm a forma de uma função elevada a outra função, além de usar propriedades de logaritmos e a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de
. Sabemos que
, então
se aproxima de 1. Por outro lado,
, e como
se aproxima de 0,
tende ao infinito. Portanto, temos uma forma
, que é uma indeterminação.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos usar o logaritmo. Seja
. Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.
Passo 4
Vamos reescrever
como
:
Observamos que, quando
se aproxima de
,
tende a 0 e
tende a
. Assim, temos uma forma
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Agora, substituímos
por
:
Então,
, o que significa que
.
Resposta
O limite é
.