Seja r(t) = (sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t), 1/2 t^2) a funçlo vetorial com t em (0, infinito).
Calcule o vetor tangente unitário T(t), vetor normal N(t) e vetor binominal B(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial para . A gente precisa encontrar três vetores: o vetor tangente unitário , o vetor normal e o vetor binormal . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade , que é a derivada de em relação a . A derivada nos dá a direção da curva em cada ponto.

Passo 3

Calculando cada componente da derivada:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor tangente . O vetor tangente unitário é o vetor velocidade normalizado, ou seja, dividido pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Sabemos que , então:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor derivado de , que nos ajudará a encontrar o vetor normal .
Primeiro, derivamos cada componente de :

Passo 6

A magnitude de é:
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 7

Por último, vamos encontrar o vetor binormal . O vetor binormal é o produto vetorial entre e .
Calculando :
Usando a regra do determinante para o produto vetorial:
Calculando cada componente:
Então:

Resposta

Os vetores são:

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