Seja
a funçlo vetorial com
.
Calcule o vetor tangente unitário
, vetor normal
e vetor binominal
.
Calcule o vetor tangente unitário
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial para
. A gente precisa encontrar três vetores: o vetor tangente unitário
, o vetor normal
e o vetor binormal
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
, que é a derivada de
em relação a
. A derivada nos dá a direção da curva em cada ponto.
Passo 3
Calculando cada componente da derivada:
- Para :
Então:
- Para :
Então:
- Para
:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor tangente
. O vetor tangente unitário é o vetor velocidade normalizado, ou seja, dividido pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Sabemos que , então:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor derivado de
, que nos ajudará a encontrar o vetor normal
.
Primeiro, derivamos cada componente de
:
Passo 6
A magnitude de
é:
Então, o vetor normal unitário
é:
Passo 7
Por último, vamos encontrar o vetor binormal
. O vetor binormal é o produto vetorial entre
e
.
Calculando
:
Usando a regra do determinante para o produto vetorial:
Calculando cada componente:
Então:
Resposta
Os vetores são: